Berechnen Sie das Krümmungsverhalten von f (x) = x^4 -6x^2

Question

Aufgabe:

Krümmungsverhalten berechnen

f (x) = x⁴ -6x² 

f' (x) = 4x³ -12x

f"(x) = 12x²  - 12

f" (x) = 0

x1 = 1           x2 = - 1

Hier komme ich nicht mehr weiter

eine Erklärung von dem was man danach machen muss wäre sehr hilfreich

Answer 1

f''(x) = 12·x^2 - 12 = 0 --> x = -1 ∨ x = 1

Wie kommst du hier auf x = 1 oder x = - 2 ?

Du hast eine gestreckte nach oben geöffnete Parabel die nach unten verschoben wurde.

Das bedeutet zwischen den Nullstellen ist f''(x) < 0 und damit rechtsgekrümmt. Außerhalb der Nullstellen also für x < -1 und x > 1 gilt f''(x) > 0 und damit ist die Funktion dort linksgekrümmt.

Comments

Upps... Habe mich da verschrieben. Woher weiß man aber was außerhalb der NUllstellen passiert?

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Stell dir mal die Parabel y = 12x^2 - 12 vor

~plot~ 12x^2-12;[[-2|2|-20|20]] ~plot~

Die Nullstellen sind die Stellen an denen die x-Achse geschnitten wird.

Eigentlich sollte das verhalten einer nach oben geöffneten Parabel dann doch klar sein oder nicht?

Notfalls setzt du in die Funktion eine Stelle zwischen den Nullstellen in die Funktion ein

f''(0) = -12 → Ok zwischen diesen Nullstellen hat man wohl negative Funktionswerte.

Aber letztendlich wussten wir das ja bereits. Ist dann aber nochmal eine Überprüfung zur Sicherheit.

Answer 2

Aloha :)

Die zweite Ableitung hast du richtig bestimmt, du kannst sie aber noch etwas geschickter aufschreiben:$$f'(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x+1)(x-1)$$Die Funktion \(f(x)\) ist linkesgekrümmt, wenn die zweite Ableitung positiv ist. Dazu müssen die beiden Klammern dasselbe Vorzeichen haben. Beide Klammern können positiv sein:$$(x+1)>0\quad\land\quad (x-1)>0\quad\Rightarrow\quad x>-1\quad\land\quad x>1\quad\Rightarrow\quad x>1$$Oder beide Klammern können negativ sein:$$(x+1)<0\quad\land\quad (x-1)<0\quad\Rightarrow\quad x<-1\quad\land\quad x<1\quad\Rightarrow\quad x<-1$$Damit ist:$$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\text{linksgekrümmt} & \text{für} & x<-1\;\lor x>1\\\text{rechtsgekrümmt} & \text{für} & -1<x<1\\\text{nicht gekrümmt} & \text{für} & x=-1\;\lor x=1\end{array}\right.$$

Answer 3

Hallo,

f''(x) < 0 ⇒ Der Graph ist rechtsgekrümmt

f''(x) > 0 ⇒ Der Graph ist linksgekrümmt

Wie in deiner Aufgabe zuvor, berechnest du zunächst den/die Wendepunkte mit f''(x) = 0.

Bei diesem Graphen sind es zwei Wendepunkte. WP₁ (-1|-5), WP₂ (1|-5).

Schau dir den Graphen von f(x) von oben an und stelle dir vor, du würdest mit dem Fahrrad die Strecke entlangfahren. Du musst die ganze Zeit nach links lenken, bis du an dem ersten Wendepunkt angekommen bist. Ab da geht es nach rechts...

Die y-Werte von f''(x) wechseln an der Stelle von WP1 das Vorzeichen, sie gehen von negativ nach positiv. Also ist der Graph im Intervall von -∞ bis -1 linksgekrümmt, im Intervall von 1- bis 1 ist er rechtsgekrümmt, von 1 bis ∞ wieder linksgekrümmt.

Melde dich, wenn du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Die Sache ist halt; man soll die Aufgabe ohne Taschenrechner lösen... und da habe ich absolut keine Ahnung mehr wie ich vorgehen muss und wieso

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Das Krümmungsverhalten von Funktionen ändert sich an den Wendepunkten.

Die Gleichung 12x^2 - 12 = 0 schaffst du sicherlich ohne Taschenrechner ;-)

f''(x) < 0 ⇒ Der Graph ist rechtsgekrümmt

f''(x) > 0 ⇒ Der Graph ist linksgekrümmt

zum Beispiel: f''(-2) = 36, f''(-1,5) = 15

Beide Werte sind größer als null, also ist der Graph von minus unendlich bis -1 linksgekrümmt.