Bestimme den Spiegelpunkt T des Nullpunktes 0 an der Geraden g

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Bestimme den Spiegelpunkt T des Nullpunktes 0 an der Geraden g

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Werner-Salomon · Answer 1 · 2018-04-25T14:43:40+0000

Hallo Nama,

Ich finde nirgendwo die Formel um einen Punkt einer Geraden zu spiegeln.

Ich auch nicht! Aber man kann sich ja was überlegen. Angenommen Du hast einen Punkt $P$ und einen Fußpunkt $F$, der auf der Geraden $g$ liegt und von allen Punkten auf der Geraden $P$ am nächsten ist. Dann reicht es doch aus, wenn man $P$ an $F$ spiegelt. Das sieht so aus:

Das Ergebnis - also der gespiegelte Punkt - sei $P'$. Nun ist aber der Vektor $\vec{FP'}$ offensichtlich $-\vec{FP}$. Also um von $P$ nach $P'$ zu kommen, muss ich zweimal $\vec{FP}$ vom Vektor nach $P$ abziehen. Folglich ist

$$\vec{P'} = \vec{P} - 2 \vec{FP} = \vec{P} - 2 (\vec{P} - \vec{F} ) = 2\vec{F} - \vec{P}$$

So - jetzt müssen wir noch raus kriegen, wo $F$ liegt. Was wir wissen ist, dass $\vec{FP}$ senkrecht auf $\vec{r}$, dem Richtungsvektor der Geraden steht. Und wir wissen, dass das (Skalar)Produkt zweier senkrecht auf einander stehender Vektoren gleich 0 ist. Schreiben wir einfach mal formal hin. Für alle Punkte $x$ auf der Geraden $g$ gilt $$x = a + \lambda \cdot r$$ (ich verzichte ab jetzt auf die Pfeile über den Buchstaben) Das Produkt des Richtungsvektor $r$ von $g$ mit dem Vektor von $F$ nach $P$ ist wegen der Orthogonalität =0 - also: $$r \cdot (P - F) = 0$$ und da $F$ auf $g$ liegt, gilt auch

$$F = a + \lambda_F r \quad \Rightarrow r \cdot (P - a - \lambda_F r) = 0$$ $$r (P-a) = \lambda_F r^2 \quad \Rightarrow \lambda_F= \frac{r(P-a)}{r^2}$$ Einsetzen in die Gleichung für $F$ (s.o.) und diese in die Gleichung für $P'$ ergibt die von Dir gesuchte Formel

$$P' = 2\left(a + \frac{r(P-a)}{r^2} r\right) - P = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ und das ganze noch mal im Geoknecht3D

(klick auf das Bild)

Lu · Answer 2 · 2018-04-25T14:00:22+0000

Rechenweg:

1. Schritt:

Erstelle die Gleichung der Ebene E, die durch O(0|0|0) geht und die Gerade g senkrecht schneidet. (Am einfachsten Ebenengleichung in Koordinatenform)

2. Schritt:

Schnittpunkt M von E und g berechnen.

3. Schritt:

Ortsvektor des gespiegelten Punktes

OO' = 2 * OM .

D.h. O' hat doppelt so grosse Koordinaten wie M.

[spoiler]

g: X =(1,2,0)+λ(-1,2,1)

1. Schritt:

Erstelle die Gleichung der Ebene E, die durch O(0|0|0) geht und die Gerade g senkrecht schneidet. (Am einfachsten Ebenengleichung in Koordinatenform)
E: (-1)x + 2y + 1z = 0 | Normalenvektor (Richtungsvektor von g)

2. Schritt:

Schnittpunkt M von E und g berechnen. g einsetzen:

(-1)(1 - k) + 2(2 + 2k) + 1(0 + k) = 0

-1 + k + 4 + 4k + k = 0

6k = - 3

k = -1/2

OM = (1,2,0) - 1/2 ( -1,2,1) = (1.5, 1, -0.5)

M(1.5, 1, -0.5)

3. Schritt:

Ortsvektor des gespiegelten Punktes

OO' = 2 * OM .

OO' = (3, 2, -1 )

D.h. O' hat doppelt so grosse Koordinaten wie M.

O' (3, 2, -1)

Bestimme den Spiegelpunkt T des Nullpunktes 0 an der Geraden g

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