Bestimme den Spiegelpunkt T des Nullpunktes 0 an der Geraden g

Question

Gegeben: g=(1,2,0)+λ(-1,2,1)

(In dreidimensionalen Raum)

Ich finde nirgendwo die Formel um einen Punkt einer Geraden zu spiegeln.

Answer 1

Hallo Nama,

Ich finde nirgendwo die Formel um einen Punkt einer Geraden zu spiegeln.

Ich auch nicht! Aber man kann sich ja was überlegen. Angenommen Du hast einen Punkt $P$ und einen Fußpunkt $F$, der auf der Geraden $g$ liegt und von allen Punkten auf der Geraden $P$ am nächsten ist. Dann reicht es doch aus, wenn man $P$ an $F$ spiegelt. Das sieht so aus:

Das Ergebnis - also der gespiegelte Punkt - sei $P'$. Nun ist aber der Vektor $\vec{FP'}$ offensichtlich $-\vec{FP}$. Also um von $P$ nach $P'$ zu kommen, muss ich zweimal $\vec{FP}$ vom Vektor nach $P$ abziehen. Folglich ist

$$\vec{P'} = \vec{P} - 2 \vec{FP} = \vec{P} - 2 (\vec{P} - \vec{F} ) = 2\vec{F} - \vec{P}$$

So - jetzt müssen wir noch raus kriegen, wo $F$ liegt. Was wir wissen ist, dass $\vec{FP}$ senkrecht auf $\vec{r}$, dem Richtungsvektor der Geraden steht. Und wir wissen, dass das (Skalar)Produkt zweier senkrecht auf einander stehender Vektoren gleich 0 ist. Schreiben wir einfach mal formal hin. Für alle Punkte $x$ auf der Geraden $g$ gilt $$x = a + \lambda \cdot r$$ (ich verzichte ab jetzt auf die Pfeile über den Buchstaben) Das Produkt des Richtungsvektor $r$ von $g$ mit dem Vektor von $F$ nach $P$ ist wegen der Orthogonalität =0 - also: $$r \cdot (P - F) = 0$$ und da $F$ auf $g$ liegt, gilt auch

$$F = a + \lambda_F r \quad \Rightarrow r \cdot (P - a - \lambda_F r) = 0$$ $$r (P-a) = \lambda_F r^2 \quad \Rightarrow \lambda_F= \frac{r(P-a)}{r^2}$$ Einsetzen in die Gleichung für $F$ (s.o.) und diese in die Gleichung für $P'$ ergibt die von Dir gesuchte Formel

$$P' = 2\left(a + \frac{r(P-a)}{r^2} r\right) - P = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ und das ganze noch mal im Geoknecht3D

(klick auf das Bild)

Comments

An diese Möglichkeit hab ich überhaupt nicht gedacht.

Answer 2

Rechenweg:

1. Schritt:

Erstelle die Gleichung der Ebene E, die durch O(0|0|0) geht und die Gerade g senkrecht schneidet. (Am einfachsten Ebenengleichung in Koordinatenform)

2. Schritt:

Schnittpunkt M von E und g berechnen.

3. Schritt:

Ortsvektor des gespiegelten Punktes

OO' = 2 *  OM .

D.h. O' hat doppelt so grosse Koordinaten wie M.

g: X =(1,2,0)+λ(-1,2,1)

1. Schritt:

Erstelle die Gleichung der Ebene E, die durch O(0|0|0) geht und die Gerade g senkrecht schneidet. (Am einfachsten Ebenengleichung in Koordinatenform)
 E: (-1)x + 2y + 1z = 0            | Normalenvektor (Richtungsvektor von g)

2. Schritt:

Schnittpunkt M von E und g berechnen. g einsetzen:

(-1)(1 - k) + 2(2 + 2k) + 1(0 + k) = 0

-1 + k + 4 + 4k + k = 0

6k = - 3

k = -1/2

OM = (1,2,0) - 1/2 ( -1,2,1) = (1.5, 1, -0.5)

M(1.5, 1, -0.5)

3. Schritt:

Ortsvektor des gespiegelten Punktes

OO' = 2 *  OM .

OO' = (3, 2, -1 ) 

D.h. O' hat doppelt so grosse Koordinaten wie M.

O' (3, 2, -1)

Comments

Danke, das hab ich mir anfangs auch gedacht. Aber woher weisst du, dass es doppelt so groß sein muss? Steht es irgendwo in einer formel? Es könnte auch dreimal so groß sein?

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Schau mal in einen Spiegel und überlege dir, wie weit hinter dem Spiegel du dich und die Gegenstände um dich herum siehst.

Mathematisch heisst das dann so:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik/artikel/geraden…

https://de.wikipedia.org/wiki/Spiegelung_(Geometrie)#Achsenspiegelun…

http://mathworld.wolfram.com/Reflection.html

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Wenn an einer Geraden gespiegelt wird, ist der Abstand des Punktes und des Spiegelpunktes zu der Geraden gleich. Somit ist der Abstand des Punktes zu dem Spiegelpunkt doppelt so lang wie der Abstand von O (oder O') zu M.

@Lu Wie machst du das mit dem "Zum Zeigen klicken"?

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@Silvia: Der Spoiler wird hier erklärt: https://www.mathelounge.de/504754/neu-spoiler-funktion-eure-posts-in…

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Danke, das werde ich mir bei Gelegenheit genau ansehen. Tolle Idee!

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Hallo Nama,

Aber woher weißt du, dass es doppelt so groß sein muss? Steht es irgendwo in einer Formel?

vergiss mal Formeln! Die nützen Dir auch nichts, wenn Du nicht weißt, was dahinter steckt. Schaue Dir das erste von den beiden Bildern in meiner Antwort an. Dort ist $O=P$ und $M=F$, dann solltest Du sehen, warum $OO'=2OM$ bzw. $PP'=2PF$.

Gruß Werner

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Ok, vielen dank sie haben mir sehr geholfen