Stetigkeit der Funktion im Punkt (0,0) prüfen? f(x,y) = (x^2 y^2)/(x^2 + y^2) für x≠0 und f(0,0) = 0.

Question

ich komme nicht bei der nachfolgenden Aufgabe weiter. Ich muss prüfen, ob die FUnktion stetig im Punkt (0,0) ist. Ich hoffe mir kann wer helfen, da ich überhaupt keinen Ansatz habe.

Stetigkeit der Funktion im Punkt (0,0) prüfen? f(x,y) = (x^2 y^2)/(x^2 + y^2) für x≠0 und f(0,0) = 0.

Comments

Du kannst erst mal x= 0 wählen und y gegen 0 gehen lassen. --> Grenzwert?

Dann x=y wählen, einsetzen, beide gemeinsam gegen 0 gehen lassen. ... -> Grenzwert.

Kommst du immer auf Grenzwert 0 ? ---> weiterschauen. (Braucht allenfalls andere Methode)

Kommst du einmal nicht auf 0. --> fertig.

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wenn ich aber beide gegen 0 Laufen lasse, müsste ich ja durch 0 teilen?

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Kürze vorher!

f(x,x) = x^4 / 2x^2 = x^2/2  -->  0

g(x,x^2) = x^4 / (x^4 + x^4) = 1/2 ist zugleich Grenzwert auf dem Pfad y=x^2.

Prüfe weitere Varianten.

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Untersuchung von f:
x = 0, y variabel, oder umgekehrt:  f(0, y) = 0.  Stetig.
x = y gegen null:  f(x, x) = 4x^4 / 2x^2 = 2x^2:  Geht gegen 0.  Stetig.
y = ax:  f(x, ax) = a^2 * x^4 / (x^2 + a^2 * x^2) = a^2 * x^4 / ((1 + a^2) * x^2) = a^2 / (1 + a^2) * x^2:  Geht gegen 0.  Stetig.
Hallo TR.  Jetzt wäre die von dir erwähnte andere Methode an der Reihe.  Was machen wir jetzt?  Wie kann ich nachweisen, dass f „auf jedem Weg“ stetig ist?

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@RomanGa: Für die Stetigkeit von f in (0|0) sollte das genügen, was du gemacht hast.

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Okay, alles klaro, danke.

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fakename hat mE doch noch ein Gegenbeispiel zu deiner Argumentation angegeben. Vgl. Diskussionen weiter unten. Pfad mit Grenzwert 1 in (0|0) wäre dort z.B. y = 1/2 x^2 .

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Hallo TR, ja, habe es schon gelesen.  Jetzt haben wir in den beiden Antworten zwar viele Hinweise bekommen, wie man Stetigkeiten und Unstetigkeiten erkennen kann, aber es gibt offenbar leider kein allgemeingültiges Rezept dafür.

Answer 1

Wie in den Kommentaren gezeigt wurde, ist f(x, y) im Ursprung auf jedem Weg stetig.

Comments

Wie in den Kommentaren gezeigt wurde

In welchem Kommentar sollte das gezeigt worden sein?

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In meinem letzten vom 5. Mai.  Ich habe mit y = ax alle Richtungen durchprobiert.  Reicht das aus, oder nicht?  Von TR habe ich keine Antwort dazu erhalten.

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Weg = Richtung ?

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Also, dann nochmal, und leicht verändert:  Wie in den Kommentaren gezeigt wurde, ist f(x, y) im Ursprung in jeder Richtung stetig.  Dies genügt, um die Stetigkeit von f(x, y) im Ursprung zu zeigen.

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Das ist falsch. Wenn man bei radialer Annaeherung an den Nullpunkt immer den gleichen Grenzwert \(f(0,0)\) findet, muss die Funktion im Nullpunkt deshalb noch lange nicht stetig sein. Gegenbeispiel: \(f(x,y)=1\) für \(0<y<x^2\) und \(f(x,y)=0\) sonst.

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@Fakename: Geht denn dein Beispiel aus allen radialen Richtungen gegen den gleichen Grenzwert ? In der Aufgabe immer gegen 0 . 

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Könnte man nicht einfach mit \(0\le2f(x,y)=\dfrac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le x^2+y^2\) argumentieren?

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@Lu: Das ist ein Lehrbuchbeispiel. Es gilt wie behauptet \(\lim_{t\to0}f(at,bt)=0=f(0,0)\) für alle Richtungen \((a,b)\). Denn für alle \(t\) mit hinreichend kleinem Betrag gelten die Ungleichungen \(0<bt<(at)^2\) nie beide gleichzeitig.

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Ok. Danke. Schönes Beispiel und interessante Idee von nn.

@Fakename: Bei deiner Argumentation mit Polarkoordinaten (andere Antwort) lässt du phi in dem Fall nicht fest. Dort geht dann einfach r gegen 0 und sin^2(phi) cos^2(phi) ist irgendeine beschränkte Zahl, da sin und cos betragsmässig in [-1,1]

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Ich hab da nicht gesagt, dass \(\varphi\) fest sein soll. Sonst haette man ja wieder nur eine radiale Annaeherung an den Nullpunkt . \(\varphi\) kann machen, was es will, waehrend \(r\) gegen \(0\) geht. Das darf aber keinen Einfluss auf den Grenzwert für \(r\to0\) haben, sonst existiert der für \((x,y)\to(0,0)\) eben gerade nicht. (Ich hab die Formulierung oben praezisiert, falls das noch irgendjemanden interessiert.)

Ein Lehrbuchbeispiel dafuer ist \(h(x,y)=xy/(x^2+y^2)\). Das koennte die abgeschnittene dritte Aufgabe auf dem Blatt sein. Da ist naemlich dann \(h(r\cos\varphi,r\sin\varphi)=\frac{1}{2}\sin2\varphi\).

Answer 2

dir Funktion lautet in Polarkoordinaten

f(r,φ)=r^2 sin^2(φ)cos^2(φ)

Diese Funktion ist stetig in r und φ, daher auch in (r,φ)=(0,φ)

Comments

Die Funktion \((r,\varphi)\mapsto\sin\varphi\) ist auch stetig in \(r\) und \(\varphi\) und insbesondere in \((0,\varphi\)). Wenn allerdings \(r\) und \(\varphi\) Polarkoordinaten sein sollen, dann ist sie in \((x,y)=(0,0)\) unstetig.

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Stimmt!

Geht es so hier :

|| f(r,φ)-0 ||<=r^2 --> 0 für r gegen 0 ?

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So aehnlich. Die Pointe ist, dass \((x,y)\to(0,0)\) aequivalent zu \(r=\lVert(x,y)\rVert\to0\) ist, wenn sich \(\varphi\) dabei beliebig verhalten darf.