∃λ∈ℝ mit x=(1−λ)v+λw⇔det(a)=0

Question

Wie kann ich die folgende Aussage zeigen:

∃λ∈ℝ mit x=(1−λ)v+λw⇔det(1  v1   v2       =0

                                            1  w1  w2

                                            1  x1   x2  )

Ich weiß, dass ich die lineare Abhängigkeit berücksichtigen muss.

angenommen sei 0=(1−λ)v+λw. Dann gilt ?

Answer 1

x=(1−λ)v+λw formst du um zu

x - v = λ * (w - v )     #

und die Matrix formst du um

durch 3. Zeile minus 1. Zeile und

2. Zeile minus 1. Zeile und hast dann

   1        v1          v2      
   0    w1- v1       w2-v2         
   0    x1-v1          x2-v2

und entwickelst  nach der ersten Spalte

det =   1*   |  w1- v1    w2-v2  |         ##
                  | x1-v1       x2-v2  |

# bedeutet:    x - v  und   w - v   sind linear abhängig

und in ## sind das gerade die Zeilen der Matrix, die ist

also genau dann 0, wenn die Teilen lin. abh. sind.

q.e.d.