Lösen von Exponentialgleichungen 3^{x-1} = 120, ...

Question

zum beispiel 3^{x-1}=120

oder 5*4^{2x+1}=26

und  22*3^{x-3}=9*5 ^{3+x}

ich brauche bitte schnell eine lösung mit rechenweg

die sachen in den klammern stehen im quadrat und * bedeutet mal       ich wusste nicht wie das geht :D   
  :)

Answer 1

Hi,

nimm den Logarithmus zu Hilfe

3^{x-1} = 120

(x-1)ln(3) = ln(120)    |:ln(3)

x-1 = ln(120)/ln(3)

x = ln(120)/ln(3)+1 ≈ 5,36


5*4^{2x+1} = 26   |:5

4^{2x+1} = 26/5
(2x+1)ln(4) = ln(26/5)  |:ln(4)

2x+1 = ln(26/5)/ln(4)

2x = ln(26/5)/ln(4) - 1  |:2

x ≈ 0,095


22*3^{x-3} = 9*5^{x+3}
22*3^x*3^{-3} = 9*5^3*5^x  |:3^x   |:9*5^3

22*3^{-3}/(9*5^3) = 5^x/3^x

22/(243*125) = (5/3)^x

ln(22/30375) = xln(5/3)    |:ln(5/3)

x = ln(22/30375)/ln(5/3) ≈ -14,15


Prinzip klar?

Grüße

Comments

wofür steht In ?

sorry wenn das eine doofe frage ist :)

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ln steht für logarithmieren

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Das ist der natürliche Logarithmus ;).

Answer 2

3  ^{x - 1} = 120

<=> x - 1 = log ₃ ( 120 ) = ln ( 120 ) / ln ( 3 ) = 4,35776...

<=> x = 5,35776

 

 5 * 4 ^{2 x + 1} =26

<=> 4 ^{2 x + 1} =26 / 5

<=> 2 x + 1 = log ₄ (26 / 5 ) = ln ( 26 / 5 ) / ln ( 4 ) = 1,1892558...

<=> 2 x = 1,1892558 - 1 = 0,1892558...

<=> x = 0,1892558 / 2 = 0,0946279...

 

22 * 3 ^{x - 3} = 9 * 5 ^{3 + x}

[kleiner Trick: Anpassen der Exponenten! 5 ^{3 + x} = 5 ^{x + 3} = 5 ⁶ * 5 ^{x - 3}  , also:]

<=> 22 * 3 ^{x - 3} = 9 * 5  ⁶ * 5 ^{x - 3}

<=>  3 ^{x - 3}  / 5  ^{x - 3}  = 9 * 5 ⁶ / 22

<=> ( 3 / 5 ) ^{x - 3} = 9 * 5 ⁶ / 22

<=> x - 3 = log _{3 / 5} ( 9 * 5 ⁶ / 22 ) = ln ( 9 * 5 ⁶ / 22 ) / ln ( 3 / 5 )

<=> x =  ln ( 9 * 5 ⁶ / 22 ) / ln ( 3 / 5 ) + 3

<=> x = -14,1542091...