Wie loest man z^3 + 1 = 0?

Question

wie kommt man auf die Lösung z_0= e^{i*pi/3}    z_1= e^{i*pi} = -1    z_2=  e^{i*5*pi/3} bei der gleichung z^3 + 1 = 0 ?

Answer 1

z^3 + 1 = 0
z^3 = -1
z = (-1)^{1/3}

z = (-1)^{1/3}
z = (1*e^{i*pi})^{1/3}

z1 = 1 * e^{i*pi/3}
z2 = 1 * e^{i*pi}
z3 = 1 * e^{i*5/3*pi}

Comments

was muss man rechnen wenn man vom z_1 die anderen Lösungen (z_2 und z_3) fidnen will?

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Man addiert zum Winkel vielfache von 2*pi/3, weil ich den Vollkreis von 2*pi in 3 Teile teile.

Answer 2

Umformen auf z^3 = -1 und dann wie bei:

https://www.mathelounge.de/53149/losen-folgende-gleichung-und-stellen-sie-sie-geometrisch-dar

vorgehen.

Formeln für versch. Wurzeln sind dort im Link angegeben.

Sicher ist ja mal, dass (-1)^3 = -1 = e^{iπ}. Somit hast du eine reelle Lösung.

Die andern befinden sich auf den Eckpunkten eines gleichseitigen Dreiecks um den Punkt z=0 + 0i

Comments

vielen dank hast du eine zeichnung doer nen link zur geogfrafischen darstellung, kann mir das irgendwie nicht vorstellen

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Wenn du die Theorie zu den Bildern hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+%2B+1%3D0

nicht kennst, musst du jetzt eine Polynomdivision machen.

(z^3 - 1): (z+1) =....

und dann das Resultat = 0 setzen. Gibt eine quadratische Gleichung. Lösungsformel für quadr. Gleichungen einsetzen und z berechnen.