Wie begründet man, dass es sich um eine stetige Funktion handelt?

Question

f: R²->R

f(x,z)=x³+z³

Wie begründet man, dass es sich um eine stetige Funktion handelt?

Answer 1

Potenzfunktionen sind nach den Rechenregeln für Grenzwerte stetige Funktion. Die Summe stetiger Funktionen ist wiederum stetig.

Comments

Potenzfunktionen sind nach den Rechenregeln für Grenzwerte stetige Funktion.

Verstehe ich leider nicht so ganz. Was haben denn die Rechenregeln damit zu tun?

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Für Potenzfunktionen gilt:

$$\lim\limits_{x\to\ x_0}x^n=\lim\limits_{x\to\ x_0}x*x*x*...x=\lim\limits_{x\to\ x_0}x*\lim\limits_{x\to\ x_0}x*\lim\limits_{x\to\ x_0}x*...*\lim\limits_{x\to\ x_0}x=x_0*x_0*x_0*...*x_0=x_0^n $$

Dabei wurde die Rechenregel

$$\lim\limits_{x\to\ x_0}f(x)*g(x)=\lim\limits_{x\to\ x_0}f(x)*\lim\limits_{x\to\ x_0}g(x)$$

für Produkte von Grenzwerten verwendet.

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danke

dadurch, dass der grenzwert dort existiert, ist die funktion stetig? oder wie verbindet man das mit der stetigkeit?

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Eine Funktion ist an der Stelle x_0  stetig, wenn

$$\lim\limits_{x\to\ x_0}f(x)=f(x_0)$$ erfüllt ist.

Dass habe ich oben für Potenzfunktionen vorgerechnet.

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vielen dank !!!

kannst du vielleicht meine andere frage auch beantworten?