zwei sich nicht schneidende stetige geraden

Question

Aufgabe:

Seien \( f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) zwei stetige Funktionen, die sich nirgends schneiden. Zeigen Sie, dass dann entweder \( f(x)<g(x) \) für alle \( x \in[a, b] \) oder \( f(x)>g(x) \) fir alle \( x \in[a, b] \) gilt.

Answer 1

f und g stetig auf [a;b] heißt auch

g-f stetig auf [a;b] und die Behauptung ist dann ja:

wenn für alle z aus [a;b]  (g-f)(z) ungleich 0 ist, dann ist

g-f  überall positiv oder g-f  überall negativ.

Beweis indirekt:

Das Gegenteil wäre:

Es gibt x,y aus [a,b] und (g-f)(x) und (g-f)(y) haben verschiedene Vorzeichen;

denn gleich 0 ist ja ausgeschlossen.

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein z aus [a;b] ( sogar zwischen x und y)

mit (g-f)(z) = 0

  im Widerspruch zu: g und f schneiden sich nicht.

Answer 2

In der Überschrift hast du Geraden angenommen. Dies muß aber nicht sein.
In der Frage ist lediglich von Funktionen die Rede.

Sind Funktionen stetig haben Sie keine Lücke.
Da sich die Funktionen nicht schneiden ist eine Funktion stets
oberhalb der anderen.

Gäbe es Definitionslücken ( keine Stetigkeit vorhanden )
könnte eine Funktion durch die Lücke von oberhalb nach
unterhalb oder umgekehrt  wechseln.

Soweit meine Überlegungen.

Comments

Ja ok danke , soweit vom überlegen her war ich auch .. Mein Problem ist das formale beweisen ..

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Ein Schnittpunkt wäre
f ( x ) = g ( x )

Dies soll nicht der Fall sein.

Es soll stets gelten
f ( x ) <> g ( x )

Also muß doch
f ( x ) > g ( x )
oder
.f ( x ) < g ( x ) sein

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@georgborn

Bei deiner Argumentation könnte ja bei einigen x-en

f ( x ) > g ( x )gelten und bei anderen f ( x ) < g ( x ).

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Nö. Voraussetzung für alle Argumentationen
Stetigkeit : keine Lücken, keine Sprünge

Bei deiner Argumentation könnte ja bei einigen x-en
f ( x ) > g ( x )gelten und bei anderen f ( x ) < g ( x ).

Dann muß auch einmal f ( x ) = g ( x ) sein.
Und das wäre ein Schnittpunkt.

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Genau das besagt ja formal der Zwischenwertsatz.

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Wo ist denn in meiner Argumentation eine " Lücke " ?

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@mathef
ich schrieb

Ein Schnittpunkt wäre
f ( x ) = g ( x )
Dies soll nicht der Fall sein.

Es soll stets gelten

f ( x ) <> g ( x )

Daraus folgt
entweder  ist
f ( x ) stets > g ( x )
oder
f ( x ) stets < g ( x )

mfg Georg

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Das ist nicht dasselbe, was du vorher geschrieben hast.

Die logischen Operatoren "oder" und "entweder oder" beschreiben unterschiedliche Aussagen.

Und das wichtigste Argument fehlt sowieso.