f und g stetig auf [a;b] heißt auch
g-f stetig auf [a;b] und die Behauptung ist dann ja:
wenn für alle z aus [a;b] (g-f)(z) ungleich 0 ist, dann ist
g-f überall positiv oder g-f überall negativ.
Beweis indirekt:
Das Gegenteil wäre:
Es gibt x,y aus [a,b] und (g-f)(x) und (g-f)(y) haben verschiedene Vorzeichen;
denn gleich 0 ist ja ausgeschlossen.
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es dann ein z aus [a;b] ( sogar zwischen x und y)
mit (g-f)(z) = 0
im Widerspruch zu: g und f schneiden sich nicht.