Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz

(1) Die Folge a(n) n=>0 , definiert durch a(n) = 4n cos (n) / -3n^3 +1

(2) Die Folge b(n) n=>1 , definiert durch b(n) = 1/n + 2(-1)^n

Was soll ich machen?

Answer 1

Zu a)

$$ (a_n)_{n\geq1}=\frac{4n\cdot cos(n)}{-3n^3+1}=\frac{\frac{4n}{n^3}\cdot cos(n)}{\frac{3n^3}{n^3}+\frac{1}{n^3}}=\frac{4n^{-2}\cdot cos(n)}{-3+n^{-3}} \rightarrow 0, \text{ für } n \rightarrow \infty $$

Hier wird einfach durch den am größten vorkommenden Grad geteilt.

Zu b)

Man wählt hier am besten zwei Teilfolgen von b_n,:

$$ \sigma_1(n)=2n-1 \text{, für ungerade n}\\\sigma_2(n)=2n-2 \text{, für gerade n} $$

Dann hat man:

$$ b_{\sigma_1(n)}=\frac{1}{2n-1}+2(-1)^{2n-1}=\frac{1}{2n-1}-2 \rightarrow -2, \text{ für } n \rightarrow \infty\\b_{\sigma_2(n)}=\frac{1}{2n-2}+2(-1)^{2n-2}=\frac{1}{2n-2}+2 \rightarrow +2, \text{ für } n \rightarrow \infty $$

Weil hier der Grenzwert der beiden Teilfogen nicht eindeutig ist, ist diese Folge auch nicht konvergent.
Wann man lieber Teilfolgen einer Folge betrachtet, kommt ganz daruaf an, wie diese Folge beschaffen ist, meistens dann, wenn dort ein (-1)^n vorkommt.

Comments

Achso, wenn ein Grenzwert vorliegt, müsste das noch mit der Defintion der Konvergenz bewiesen werden.

Zu a)

$$ \text{Wegen } \lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0 \text{ existiert für alle }\\\epsilon >0 \text{ eine natürliche Zahl } N_{\epsilon} \text{, so dass für alle }n \geq N_{\epsilon} \text{ gilt:}\\|a_n-0|<\epsilon$$ Dies zeigt man so.

$$ \text{Sei } \epsilon>0 \text{ fest, aber beliebig. Dann ist:}\\ |a_n-0|=|a_n|=\Bigg |\frac{4n\cdot cos(n)}{-3n^3+1} \Bigg |\leq \Bigg|\frac{4n}{-3n^3+1}\Bigg| <\Bigg |\frac{4n}{-3n^3}\Bigg|\leq\Bigg|\frac{4}{3n^2}\Bigg|\leq \Bigg|\frac{4}{n}\Bigg|=\frac{4}{n}\leq\frac{4}{N_{\epsilon}}<\epsilon \Leftrightarrow N_{\epsilon}>\frac{4}{\epsilon}\\ \text{Weil } n \in \mathbb{R} \text{ gibt es nach dem Archimedischen Prinzip}\\ \text{auch eine natürliche Zahl } N_{\epsilon} \text{, so dass}\\ N_{\epsilon} > n.$$

Bei b ist der Grenzwert beider Teilfolgen nicht eindeutig; also ist b_n nicht konvergent.