Ein Trinkglas hat innen die Form einer Parabel mit der Gleichung f(x)=2x^2+10. (Maße in cm)
a) Fertige eine beschriftete Skizze an
b) Die innere Höhe beträgt 7cm. Berechne den Durchmesser
Laut Formel hat das Glas einen Stiel von
10 cm.
x = r
h ( x ) = 2 * x^2 + 10
innere Höhe + Stiel = Gesamthöhe = 17 cm
17 = 2 * x^2 + 10
x = r = 1.87
d = 2 * r = 3.74 cm
c) Zeige durch Berechnung des Volumens, dass ein bis zur halben Höhe gefülltes Glas nicht das halbe Volumen besitzt.
Umkehrfunktion bilden. Zunächst aber den Stiel abziehen.
y = 2 * x^2
Umkehrfunktion
x = 2 * y^2
y = √ ( x/2 )
r = √ ( x/2 )
A = r^2 * π = x/2 * π
Stammfunktion
S ( x ) = x^2 / 4 * π
V ( voll ) = [ S ( x ) ] zwischen 0 und 6 = 21.77 cm^3
V ( halbvoll ) = [ S ( x ) ] zwischen 0 und 3 = 7.7 cm^3
d) Erkläre den in c) berechneten Zusammenhang. (Warum Füllen bis zur halben Höhe nicht dem halben Volumen entspricht.)
x^2 / 4 * π bei 0 ist 0 und entfällt
x^2 / 4 * π : die Höhe ( hier x ) geht im Quadrat
in die Volumenformel ein
