Existieren in den folgenden Teilmengen A1,... jeweils Maximum, Minimum, Supremum bzw. Infimum ?

Question

Entscheiden Sie zu den folgenden Teilmengen A1, . . . , A4 von ℝ jeweils, ob Maximum, Minimum,
Supremum bzw. Infimum existieren und geben Sie diese gegebenenfalls (ohne Beweis) an.
(a) (2P) A1 := (−2, 1) ∩ (2, 3]
(b) (2P) A2 := n
n
n+1 : n ∈ N
o
(c) (2P) A3 := {1 + 2−n : n ∈ N}
(d) (2P) A4 := Q ∩ (−2.5, 4]

Comments

Orientiere dich schon mal anhand der "ähnlichen Fragen" unten. Bsp. https://www.mathelounge.de/24302/entscheiden-maximum-minimum-supremum-infimum-existieren

Wenn du einen Anfang  / eine Vermutung hast, darfst du sie gern als Kommentar ergänzen.

Answer 1

a)    ist die leere Menge

  b) kann ich leider nicht entziffern; warum lädtst du nicht das originale Aufgabenblatt hoch?

   c) besitzt als Maximum 3 , ist aber nach Unten unbeschränkt.

   Zu d) ist zu sagen: Da hier von |R die Rede ist, besitzt jede nach Unten beschränkte Menge ihr Infimum und analog beim Supremum.

   Nach Unten offenes Interrvall;   Infimum ist ( - 5/2 )

   Nach Oben abgeschlossen; das Maximum 4 wird angenommen.

Comments

 oh tut mir leid b)  A2:= {n/n+1 : n ∈ℕ}

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  Einerseits freu ich mich ja, dass ihr alle Polynomdivision drauf habt.  Nur missbraucht ihr sie zu allen unmöglichen Zwecken; bloß da, wo sie sich empfiehlt, hat es euch keiner gesagt.

   Häufig hilft nämlich, die Kenntnisse aus der Kurvendiskussion wieder zu aktivieren. Deine Funktion ist eine ===>  Hyperbel

   x : ( x + 1 ) = ( x + 1 ) : ( x + 1 ) - 1 / ( x + 1 )    =    (  1  )

   =  1  -  1 / (  x  +  1  )      (  2  )

    Betrachten wir einmal das Verhalten von ( 2 ) auf |R  .  Polstelle ist x0 = ( - 1 ) ; und das Residuum ist negativ.  Rechts von der Singularität kommt die Kurve daher von ( - °° )   ===>  Sie verhält sich monoton steigend.

   In der Ausfangsform ( 1 ) erkennst du am Schnellsten, dass n = 0 ihre Nullstelle bzw. das Minimum auf |N   ist.

   Das Supremum Eins ergibt sich aus dem asymptotischen Verhalten ( 2 ) .  Es ist durchaus zuläsig zu sagen

            f  (  °°  )  =  1       (  3  )

    Jedoch entspricht der unendlich ferne Punkt ===> ein-Punkt-Kompaktifizierung dem ===> Nordpol der ===> Gaußschen Zahlenkugel; der ist aber kein element von |N .