Algebra, Zahlenfolgen, a_n+2= a_n+1 + a_n

Question

Wir betrachten Folgen natürlicher zahlen, ... [urheberrechtlich geschützten Text entfernt]

soweit zur aufgabe. Bin neu auf diesem Forum, habe es gerade entdeckt. Da ich gelesen habe dass diesem Forum offensichtlich der Missbrauch zu Lösungshilfen der Mathe- olympiade unterstellt wird, möchte ich foldendes zu der Aufgabe sagen:

Soweit ich weiß handelt es sich hierbei um eine Aufgabe aus der Mathematik Olympiade der Klassen 9/10.

Ich selbst bin in der 9. Ich nehme auch an der Mathe Olympiade teil, habe diese schon abgegeben, heute war abgabetermin. Die mathe olympiade betand aus 4 Aufgaben, diese hier war KEIN bestandteil! wie ich heute erfahren hab, wurden den lehrern 6 aufgaben zur verfügung gestellt und diese durften sich dann 4 herauspicken und uns dann als Mathe olympiade- Aufgaben "verkaufen". Diese Aufgabe haben wir heute bekommen, um sie als training, als hausaufgabe zu lösen. ich komme dabei leider nicht voran, und früher wird es auch nicht gerade...

Wäre sehr dankbar wenn mir jemand helfen könnte und mich versteht :)

PS: falls sich jemand fragt warum meine aufgabe nur ein c) hat, so kann ich erklären, dass ich a) und b) bereits erfolgreich gelöst habe, ich bin also keiner, "der immer nur abschreibt und sich alles erschummelt"- Typ :)

Comments

Bei Aufgaben aus der Matheolympiade warte bitte bis die Lösungen offiziell im Internet erscheinen.

http://www.mathematik-olympiaden.de/akt_aufgaben.html#513

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Naja, also wenn \( a_{n+2} = a_{n} + a_{n+1} \) ungerade ist, dann ist entweder \( a_{n} \) oder \( a_{n+1} \) ungerade. Das heißt genau einer der Summanden ist gerade und genau einer ist ungerade. Das gilt für alle Summen \( a_{n} + a_{n+1} \). Die Frage ist nun, wie man davon auf die Teilbarkeitseigenschaft durch 2 von c und d schließen kann.

MfG

Mister

PS: Es läuft gerade eine heiße Diskussion über Olympiade-Aufgaben. Du hast diese günstigerweise als Zitat gekennzeichnet. Allerdings kann es passieren, dass der Urheber sich meldet und die Unkenntlichmachung (Löschung) des "urheberrechtlich relevanten Anteils" deiner Frage fordert. Der übrige Teil deiner Frage kann davon jedoch eigentlich nicht betroffen sein.

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ich hab das als hausaufgabe auf!
Aber wenn sie sich unsicher sind, HEUTE war abgabetermin, können sie gerne googeln :)

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ja, mein lösungsansatz war, für jeweils c und d  einmal 2n einzusetzten ( für beide), einmal für beide 2n_+1 und einmal für c 2n und für d 2n_+1 ... 2n stellt j eine gerade zahl da und 2n_+1 eine ungerade.. is auch aufgegeangen, wollte eigentlich nur wissen ob es noch eine leichtere/ andere lösung gibt :)

PS: habe ich mitbekommen :/ wie gesagt, ich halte grundsätzlich nichts von abschreiben aber ich finde eine zensierung überzogen..

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"c und d  einmal 2n einzusetzten ( für beide),"

Nenne das lieber 2k damit kein Konflikt mit den n in a_n+2 entsteht. Zudem ist genau die erste Version unmöglich, ohne, dass man da viel rechnet. Die andern 3 Varianten würde ich auch einfach 'durchrechnen'.

Answer 1

Überlegt dir wie sich a_3 berechnet. Stelle den Term auf.

Überlegt wie sich a_4 berechnet. Stelle den Term auf.

Überlege wie sich das auf a_n verallgemeinern lässt. Stelle den Term auf.

Setze dann für n = 20 ein und schaue dir den Term aus c und d an. Was muss dann passieren das das Ergebnis ungerade ist.
Tipp: eine Gerade Zahl mal irgendwas ist wieder gerade. Eine ungerade Zahl mal einer ungeraden Zahl ist wieder ungerade. Eine gerade plus eine ungerade Zahl ist ungerade.

Aus diesen Hinweisen kannst du jetzt die Aufgabe leicht lösen.

Comments

Wer sich etwas mit der Materie beschäftigen möchte dem sei der Artikel über Fibonacci-Folgen bei Wikipedia empfohlen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge