Taylorpolynom: Näherungsweise Wert berechnen

Question

Hey Mathe-Brains,

ich wiederhole gerade ein paar Sachen von damals und hänge momentan an einer Aufgabe im Fach Numerik fest:

Zuerst sollte von folgender Formel das Taylorpolynom 2ter Ordnung um den Entwicklungspunkt 0 berechnet werden:

Easy, Ergebnis ist:

Jetzt aber der knifflige Teil: Mithilfe des Taylorpolynoms soll der Wert sqrt(26) angenähert werden.

Da reicht es aber anscheinend nicht das Taylorpolynom mit dem Näherungswert gleichzusetzen, denn das Ergebnis ist laut Lösung:

Ich habe aber keinen Plan, woher der x-Wert 1/25 kommt und warum das ganze auch noch mit 5 multipliziert wird.

Von dem, woran ich mich noch erinnern kann, kam die 25 von der Ursprungsgleichung, da man sqrt(26) rausbekommt, wenn man x = 25 setzt. Bin aber ratlos darüber, warum das auch noch invertiert ist.

Könnt ihr mir da weiterhelfen?

Answer 1

Ziel : irgendwas in der Form √(1+x) mit kleinem x, damit die Näherung noch genau bleibt

$$\sqrt{26}=\sqrt{25+1}=\sqrt{25(1+1/25)}=5\sqrt{(1+1/25)} \approx 5*(...)$$

Comments

Cool, danke!

Das erklärt so einiges :D