zu zeigen f^{-1} ' (y ) = 1 / f ' ( f^{-1} (y ) )
oder wie du es gemacht hast mit x statt y.
f^{-1} ' (x ) = 1 / f ' ( f^{-1} (x ) )
Ist alles soweit richtig:
f^{-1} ' (x ) = -1 / x^2
f ' (x) = -1 / (x+1)^2
Hier jetzt für x einsetzen f^{-1} (x ) gibt
f ' ( f^{-1} (x ) ) = - 1 / ( f^{-1} (x ) +1)^2
= -1 / ( (1-x)/x +1)^2 = - 1 / (( 1-x+x) / x )^2 = -1 / (1/x^2)
und damit ist
1 / f ' ( f^{-1} (x ) ) = -1 / x^2 = f^{-1} ' (x ) Bingo!