zu zeigen f-1 ' (y ) = 1 / f ' ( f-1 (y ) )
oder wie du es gemacht hast mit x statt y.
f-1 ' (x ) = 1 / f ' ( f-1 (x ) )
Ist alles soweit richtig:
f-1 ' (x ) = -1 / x2
f ' (x) = -1 / (x+1)2
Hier jetzt für x einsetzen f-1 (x ) gibt
f ' ( f-1 (x ) ) = - 1 / ( f-1 (x ) +1)2
= -1 / ( (1-x)/x +1)2 = - 1 / (( 1-x+x) / x )2 = -1 / (1/x2)
und damit ist
1 / f ' ( f-1 (x ) ) = -1 / x2 = f-1 ' (x ) Bingo!