Umkehrfunktion/Abbildung und Beweiß

Question

Hallo

Kämpfe gerade mit folgendem Beispiel herum. Die Umkehrfunktion habe ich hinbekommen und müsste so auch stimmen laut wolfram Alpha. Aber beim zweiten Teil: Zeigen Sie die Gültigkeit der folgenden Beziehung steck ich jetzt bei einem Doppelbruch fest. Was mich eher daran zweifeln lässt das ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin. Könnte vielleicht mal eben wer drüber schauen? Danke vielmals

Comments

Dein Arbeitsblatt ist für mich leider nicht
erkennbar.
Stell einmal ein Foto / Text der Aufgabe ein.

Answer 1

zu zeigen  f^{-1}  ' (y ) =  1 /  f ' (  f^{-1}  (y ) )

oder wie du es gemacht hast mit x statt y.

f^{-1}  ' (x ) =  1 /  f ' (  f^{-1}  (x ) )

Ist alles soweit richtig:

f^{-1}  ' (x ) =   -1 / x^2

f ' (x) = -1 / (x+1)^2

Hier jetzt für x einsetzen   f^{-1}  (x ) gibt

f ' (  f^{-1}  (x ) ) =  - 1 / (  f^{-1}  (x ) +1)^2

= -1 / (   (1-x)/x +1)^2 = - 1 /  ((  1-x+x) / x  )^2  =  -1 /  (1/x^2)

und damit ist

1 /  f ' (  f^{-1}  (x ) ) = -1 / x^2    = f^{-1}  ' (x )    Bingo!