Vielleicht durch Widerspruch: Wenn sie lin. abhängig wären, müsste
einer (o.B.d.A w ) sich als Linearkombination der anderen beiden, etwa in der Form
w = au+bv schreiben lassen. #
Betrachte zunächst ||u-v||=1 ==> < u-v, u-v > = 1
(Deiner Überlegung fehlte zwar die Wurzel ||x||=√<x,x>,
aber das Skalarprodukt ist ja pos. definit.)
Dann hast du 1 = < u-v, u-v >
= <u,u> + 2<u,v> + <v,v>
= 1 + 2<u,v> + 1
==> - 0,5 = <u,v> . ##
Wegen # und den Voraussetzungen gilt
1 = || w ||
==> 1 = < au+bv ,au+bv > = a^2 <u,u> + 2ab<u,v> + b^2 <v,v>
gibt mit ||u||=||v||=1 und ## dann ab=1 . ###
Nun noch ||w-v||=1 einbringen.
Mit # gibt das < au + (b-1)v , au + (b-1)v > = 1
gibt analog zur Bestimmung von ## dann a*(b-1)=1 ,
zusammen mit ### also a=0.
Entsprechend folgt aus ||w-u||=1 dann b=0.
Also liefert # w= 0-Vektor im Widerspruch zu ||w||=1.