Wie löse ich Betragsgleichungen: |2x^2+2x-2|=|2x|

Question

ich habe  ein Problem mit Betragsgleichungen Wie zum Beispiel dieser:  |2x^2+2x-2|=|2x|


Ich weiß, dass ich den Bereich für 1. Fall bzw. 2. Fall festlegen muss, aber wie genau stelle ich das an?

Answer 1

 |2x²+2x-2|=|2x|          |2 ausklammern

2|x^2 + x -1| = 2|x|              |:2

|x^2 + x -1| = |x| 

Löse einmal

x^2 + x -1 = x 

und dann

x^2 + x -1 = -x 

und kontrolliere dann die Lösungen in der Gleichung |x^2 + x -1| = |x| 

x^2 + x -1 = x 

x^2 = 1

x = ±1

Kontrolle

x₁= 1

|x^2 + x -1| = |x| 

| 1 + 1 -1 | = |1| =1 ok.

x₂=-1

|x^2 + x -1| = |x| 

| 1 -1-1| = |1| =1 ok

 

und dann

x^2 + x -1 = -x 

x^2 + 2x - 1 = 0             abc- oder pq-Formel

x_3,4 = 1/2 ( -2 ±√(4+4)) = -1 ± √8 / 2 = -1 ± √2

Beide Resultate noch einsetzen in

|x^2 + x -1| = |x|

und kontrollieren, ob sie auch stimmen.

Du solltest das bestätigen können. Daher 

L = { -1-√2, -1, -1+√2 , 1}

Schöne Skizze z.B. hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%7C2x%5E2%2B2x-2%7C%3D%7C2x%7C+

Comments

Nvm ;)          .

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Danke. Hab's beim Skizzieren bemerkt.

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Sehr schön erklärt!

Answer 2

Hi,

Für x<-1,618 und für x>0,618 kann man die Betragsstriche einfach weglassen, da beide entweder positiv oder beide  negativ sind.

2x^2+2x-2 = 2x  |-2x+2

2x^2 = 2

x^2 = 1

x_1,2 = ±1

 

Im anderen Fall muss nur eins von beiden negativ sein. Das andere ist positiv. Setze an der rechten Seite ein Minus hin um das zu berücksichtigen:

2x^2+2x-2 = -2x    |+2x

2x^2+4x-2 = 0        |:2, dann pq-Formel

x^2+2x-1 = 0

x₃ = -1-√2 und x₄ = -1+√2

 

Das wars schon ;).

 

Grüße

Comments

Ah, das leuchtet mir ein.

Aber wie komme ich den auf x<-1,618 und für x>0,618?

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Das sind die Nullstellen der linken Seite. Wir wollen ja wissen, wann die Ausdrücke jeweils größer bzw. kleiner 0 sind. Um die Fallunterscheidungen machen zu können.

Exakt lauten sie:

-1/2-√(5)/2 = -1,618

und

-1/2+√(5)/2 = 0,618

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Achso, okay. Danke. Zusammen mit der Skizze hab ich es jetzt auch kappiert.

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Gut gut :)     .

Answer 3

für |z| kannst du auch schreiben √(z^2)

Also

|2·x^2 + 2·x - 2| = |2·x|
√((2·x^2 + 2·x - 2)^2) = √((2·x)^2)
(2·x^2 + 2·x - 2)^2 = (2·x)^2
4·x^4 + 8·x^3 - 4·x^2 - 8·x + 4 = 4·x^2
4·x^4 + 8·x^3 - 8·x^2 - 8·x + 4 = 0
4·(x + 1)·(x - 1)·(x^2 + 2·x - 1) = 0

Wir haben also 4 Lösungenn

x1 = 1
x2 = -1
x3 = -1 + √2
x4 = -1 - √2