Betragsgleichungen lösen. Bsp. b) |3x - 2| + 2 = x^2

Question

Lösen Sie die Betragsgleichungen:

$$ \begin{array} { l } { \text { (a) } | 5 x - 1 | = 9 } \\ { \text { (b) } | 3 x - 2 | + 2 = x ^ { 2 } } \\ { \text { (c) } | x - 1 | + 2 | x - 2 | = 2 x } \end{array} $$

Geben Sie auch jeweils die Lösungsmenge an.

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand mit ausführlichem Rechenweg die Aufgabe B) vorrechnen könnte.

Answer 1

Aufgabe a)

                                           

Answer 2

>  wenn mir jemand mit ausführlichem Rechenweg die Aufgabe b) vorrechnen könnte

|3x-2| = x² - 2

1.Fall:   3x-2 ≥ 0  ⇔  x ≥ 2/3

Term im Betrag ≥ 0   →  Betrag entfällt

3x - 2 =  x² - 2     | + 2  | - 3x

0 = x² -  3x 

x ausklammern:

0  =  x * (x-3)

Nullproduktsatz:

x = 0 oder x = 3  

L₁ = { 3 }

2. Fall:  x < 2/3

Term im Betrag ≤ 0   →  Betrag wird durch Minuszeichen vor dem Term ersetzt:

- (3x - 2)  =  x² - 2

-3x + 2 = x² -  2    |  +3x  | - 2  |  Gleichung drehen

x² + 3x - 4 = 0

(x-1) * (x+4 ) = 0           (oder pq-For  mel)

Nullproduktsatz:

x = 1 oder x = -4  

L₂ = { -4 } 

L = L₁ ∪ L₂  =  { -4 ; 3 }

Gruß Wolfgang

Answer 3

Illustration:

~plot~ abs(5x-1);9; [[10]] ~plot~

Entweder du berechnest die Schnittstellen der beiden (Halb-)Geraden mit y=9, oder

|5x-1| = 9     |^2 

(5x - 1)^2 = 81  | quadratische Gleichung 

Analog kann man b) erst mal zeichnen:

~plot~ abs(3x - 2) ; x^2 -2; [[10]] ~plot~

Hier auch entweder Fälle unterscheiden oder erst mal  |3x - 2 | = x²  - 2 quadrieren.