der Erwartungswert des Gewinns

Question

Eine faire Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Zahl fällt.Tritt dies nach dem ersten Wurf auf, erhalten Sie einen Euro. Geht das Spiel zwei Wurfe lang, erhalten Sie zwei Euro und so weiter, das heit tritt Zahl im k-ten Wurf auf,
erhalten Sie 2^k-1 Euro. Die Auszahlung sei mit der Zufallsvariablen X bezeichnet. Die Frage
ist nun, wie viel Sie bereit sein sollten, fur die Teilnahme an diesem Spiel zu bezahlen.

Eine erste Herangehensweise ware es, den Erwartungswert E[X] des Gewinns zu bezahlen.
Berechnen Sie diesen.

was ich verstanden habe :

ich kann diese eine formell

P(X=k)=(n über k)⋅p^k⋅(1−p)^n−k , k ist dabei wie oft das ereignis eintreffen soll.

lässt sich den Erwartungswert einfach so berechnen : E[X] = p(X=k) * Reihe von 2^k-1 ? was heißt denn  "den Erwartungswert E[X] des Gewinns" ?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Bestimmen den Erwartungswet

Stichworte: erwartungswert,wahrscheinlichkeit,stochastik

Eine faire Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Zahl fällt.Tritt dies nach dem ersten Wurf auf, erhalten Sie einen Euro. Geht das Spiel zwei Wurfe lang, erhalten Sie zwei Euro und so weiter, das heit tritt Zahl im k-ten Wurf auf,
erhalten Sie 2^k-1 Euro. Die Auszahlung sei mit der Zufallsvariablen X bezeichnet. Die Frage
ist nun, wie viel Sie bereit sein sollten, fur die Teilnahme an diesem Spiel zu bezahlen.

Eine erste Herangehensweise ware es, den Erwartungswert E[X] des Gewinns zu bezahlen.
Berechnen Sie diesen.

was ich verstanden habe :

ich kann diese eine formell

P(X=k)=(n über k)⋅p^k⋅(1−p)^n−k , k ist dabei wie oft das ereignis eintreffen soll.

lässt sich den Erwartungswert einfach so berechnen : E[X] = p(X=k) * Reihe von 2^k-1 ?

Answer 1

Die Auszahlung sei mit der Zufallsvariablen X bezeichnet.

E(X) ist jetzt NICHT der Erwartungswert des Gewinns sondern der Erwartungswert der Auszahlung!

E(X) = ∑ (k = 1 bis ∞) (2^{k - 1}·0.5^k) = ∞

Da der Erwartungswert unendlich ist kann man zu jedem Einsatz an dem Spiel teilnehmen.

Zumindest so lange man unendlich viel Geld zum Spielen zur Verfügung hat.