Flächenberechnung zwischen zwei Graphen

Question

Ich möchte die Fläche zwischen zwei Graphen bestimmen.

Die Funktionen lauten: f(x)= (x-1)^2 und f2(x)= - (x-0)^2+1)

Woher weiss ich nun, ob ich für die Differenzfunktion das Integral zwischen f(x)-f2(x) berechnen soll oder zwischen f2(x)-f(x)?

Answer 1

Woher weiss ich nun, ob ich für die Differenzfunktion das Integral zwischen f(x)-f2(x) berechnen soll oder zwischen f2(x)-f(x)?

Das ist egal. Der Unterschied besteht nur im Vorzeichen des Ergebnisses. Der Flächeninhalt ist dann der Betrag des Integrals.

Du musst lediglich darauf achten, dass im Intervall, über das du integrierst, keine schnittpunkte der zwei Funktionen liegen.

Comments

“keine Schnittpunkte der zwei Funktionen liegen“

Was ist mit den nullstellen? Warum sind diese hier irrelevant  und bei dem integral einer einzelnen Funktion relevant?

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Die Nullstellen der einzelnen Funktionen sind im Allgemeinen keine Nullstellen der Differenzfunktion mehr.

Die Stellen, an denen sich die zwei Funktionen schneiden, werden zu Nullstellen der Differenzfunktion.

Answer 2

Das ist eigentlich egal, weil du im Zweifel immer den Betrag vom Integral nehmen kannst. Also

$$ \Bigg|\int_{a}^{b}{d(x)}dx \Bigg| $$

Comments

Wie kann man das vermeiden? Mein Lehrer meinte, dass es irgendeinen trick dazu gibt.. hab es leider nun vergessen

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Das kann man meiner Meinung nach nicht pauschal beantworten. Es kommt sehr stark auf die Funktionstypen an und da gibt es diverse, wo man jetzt nicht sofort sehen kann, ob sie größer ist als die andere. Entweder man sieht es durch ,,scharfes'' Hingucken, z.B bei quadratischen Gleichungen noch durchaus am Vorzeichen(nicht immer!!!) erkennbar, oder man bildet den Betrag vom Integral, was viel einfacher ist. Denn dadurch ist es unnötig zu wissen, welche der beiden in einem Intervall(hier durch Schnittstellen gegeben) größer als die andere ist. Es könnten auch ziemlich ,,hässliche'' Funktionen vorkommen.

Ein anderer Weg ist, wenn du für beide Funktionen einzeln das Integral im Intervall berechnest. Dann siehst du anhand der Werte der Integrale, welche Funktion größer ist, als die andere, nämlich gerade die, wo das Integral am größten ist und kannst so nun deine Differenzenfunktion bilden, ohne vom Betrag gebrauch zu machen.