Beweise: Resultat ist Einheitsmatrix. Also, dass tatsächlich AA^{−1} = A^{−1}A = E

Question

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Zeigen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus a), dass tatsächlich AA^{−1} = A^{−1}A = E
mit der Einheitsmatrix E ∈ R^{2×2} gilt.

In Aufgabe a sollte man die Inverse 2x2 Matrix herleiten. Da habe ich folgendes raus:

A^-1= 1/(ad-cb) (d -b)

                           -c  a

Jetzt komme ich nur irgendwie nicht weiter.

Answer 1

Matrixmultiplikation. (sollen 3 2x2-Matrizen sein)

(d -b)           (a b                ((da - bc)      (db - bd)) 
(      )      *   (       )        = (                                        ) 
 -c  a             c d )            ( (-ca + ca)     (-cb + ad) )  

= ad-cb ( 1    0

               0    1)

Nun dasselbe nochmals rechnen und vor jeden Term 1/(ad-bc) schreiben. Zum Schluss Bruch vor der Matrix kürzen.

Dann hast du A^{-1}*A = E gezeigt.

A * A^{-1} geht gleich. Den Faktor 1/(ad - bc) kannst du im ersten Schritt vor A ziehen.

Answer 2

  Hier ich erklär dir mal, wie man das richtig macht.   Die lassen dich doch dumm sterben.

   Die wichtigste Erkenntnis;  Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel:

   "  Jede Matrix löst ihre eigene Säkulardeterminante ( SD )  "

     Fürdiagonalisierbare  ===>  halbeinfache Matrizen lässt sich das ja trivial  einsehen; aber es gilt eben allgemein.

    Und wie findet man die  SD?  Komisch; in den BNüchern ist das immer so Mega  kompliziert erklärt.  Du machst erst mal den  quadratischen   Ansatz

      p_M  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q       (  1  )

     p  und  q  folgen über Vieta das geschmähte  Stiefkind.

       p  =  E1  +  E2  =  Sp  (  M  )         (  2a  )

       q  =  E1  E2  =  det  (  M  )        (  2b  )

   p_M  ( x )  =  x  ²  -  x  Sp  (  M  )  +  det  (  M  )    (  2c  )

    Jetzt tust du die Matrix  M einsetzen in ihr Eigenpolynom  (  2c  )

        M  ²  -  M  Sp  (  M  )  +  det  (  M  )  *  1|  =  0  |   *  M  ^ -  1    (  3a  )

     M  -  1|  *  Sp  (  M  )  +  M  ^ -  1  det  (  M  )  =  0    (  3b  )

   M  ^ -  1  =   [  1 / det ( M ) ]  [  Sp ( M ) * 1| - M ]   (  3c  )  (  3c  )