Eine Matrix \(A\in K^{n\times n}\) ist genau diagonalisierbar, wenn das Minimalpolynom von \(A\) über \(K\) in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt.
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Sei \(1_3\) die Einheitsmatrix in \(\mathbb{C}^{n\times n}\). Sei \(0_3\) die Nullmatrix in \(\mathbb{C}^{n\times n}\).
Da \(A^3 = 1_3\) ist, ist \(A^3-1_3=0_3\). Daher ist \(A\) "Nullstelle" des Polynoms \(X^3-1\in\mathbb{C}[X]\).
Demnach ist das Minimalpolynom von \(A\) ein Teiler des Polynoms \(X^3 - 1\).
\(X^3 - 1 = (X-1)\cdot (X-\text{e}^{\frac{2\pi\text{i}}{3}}) \cdot (X-\text{e}^{\frac{4\pi\text{i}}{3}})\)
\(X^3 - 1\) zerfällt über \(\mathbb{C}\) in paarweise verschiedene Linearfaktoren.
Damit zerfällt auch jeder Teiler von \(X^3 - 1\) über \(\mathbb{C}\) in paarweise verschiedene Linearfaktoren.
Daher zerfällt das Minimalpolynom von \(A\in\mathbb{C}^{n\times n}\) über \mathbb{C} in paarweise verschiedene Linearfaktoren.
Demnach ist \(A\) diagonalisierbar über \(\mathbb{C}\).
