Kepplersche Fassregel der Integration. Was ist zu tun ,wenn der Funktionswert nicht definiert ist?

Question

Ich habe eine Frage : Ich habe ein Integral das ich näherungsweise berechnen möchte mit der Fassregel : 1/6(b-a) [ f(a) + 4*f(a+b)/2) + f(b)]

Für f(a) passt alles, aber f(b) ist nicht definiert.

Was soll ich dann tun?

Comments

Philosophiere nicht rum. Gib f an.

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f(x) = (3x^3-x^2+2x-4)/(√(x^2-3x+2))

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Über welchen Bereich willst Du denn integrieren?

Answer 1

Ich habe mich nicht näher mit der Keplerregel
beschäftigt. f ( x ) ist wohl der Randfunktion
eines Gefäßes.
Die sieht in deinem Fall so aus.

Also zumindest ein etwas merkwürdiges Gefäß.
Stell einmal ein Foto der Aufgabe ein.

Comments

Ein Bild habe ich nicht, nur die Funktion mit den Grenzen 0 und 1.

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Laut Bild dürfte die Kepler´sche Faßregel
zwischen 0 und 1 doch anwendbar sein.

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Der Fragesteller sieht das Problem darin, dass f(1) nicht definiert ist. Die Behebung dieses Problems besteht dann vielleicht darin, dass f an x=1 stetig ergänzt wird, das sollte nach der Zeichnung möglich sein, oder dass das b ein bisschen kleiner als 1 gewählt wird, was immer möglich ist, da es sich ja ohnehin nur um eine Näherung handelt.

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Gute Idee die Grenzen kleiner zu wählen, aber wie groß ist dann die Abweichung wenn f(1) definiert wäre ?

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( x | f ( x ) )

a ( 0 | -2 * √ 2 )
b ( 1 | 0 )

( a + b | f ( a + b ) )
a + b  ( 1 | 0 )

Gibts was ?

Answer 2

Die Funktion f(x) = (3x3-x2+2x-4)/(√(x2-3x+2)) ist für reelle x im Intervall 1 <= x= < 2 undefiniert, weil der Nenner entweder negativ wird, und damit die Wurzel undefiniert ist, oder aber eine Nullstelle aufweist.

In diesem Intervall ist die Funktion also nicht integrierbar, also auch in allen Intervallen, die [1,2] teilweise oder ganz enthalten. Das sollte bei der Anwendung der Keplerschen Fassregel beachtet werden.

Diese Funktion ist ein gutes Beispiel, dass man die Fassregel nicht einfach blindlings über beliebige Intervalle [a,b] bilden kann.

Comments

Da hast du recht, allerdings ist das nicht unbedingt ein Problem der Keplerschen Fassregel, dass sich eine nicht definierte Funktion nur sehr schlecht integrieren lässt.

Immerhin sollte das Problem im vorliegenden Falle für b=1 oder a=2 aber repariert werden können.

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Ich wüsste halt nicht wie ich die Funktion per Hand integrieren sollte.

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Sowohl f(1) als auch f(2) sind undefiniert. Für x=2 ist das leicht zu erkennen, und für x=1 divergiert der lim f(x) [x->1] gegen -unendlich.

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f(x)

= (3*x^3 - x^2 + 2*x - 4) / sqrt(x^2 - 3*x + 2)

= (sqrt(x - 1)*(2*x + 3*x^2 + 4)) / sqrt(x - 2)

Die Funktion f kann an x=1 mit y=0 stetig fortgesetzt werden.