Darstellende Matrix bestimmen von f

Question

Ich habe den Vektorraum der Polynome in ℂ gegeben vom Grad <=2. Sei f: V-->V ℂ- linear definiert durch

f(∑ i=0 bis 2)=x(λ₁+2λ₂)+∑(von i=0 bis 2) über (λ_ixⁱ)

Nun soll ich die darstellende Matrix dazu bestimmen, was wir auch schon gemacht haben. Es gilt

f(1)=1

f(x)=2x

f(x²)=3x²

Also ist die darstellende Matrix (1 0 0

                                                  0 2  0

                                                 0  0 3)

Nun ist mir nicht ganz klar, wie man auf das f(x²) kommt. Ich hätte gesagt für f(x²) erhält man 2x+x². Kann mir das jemand erklären? Wäre super weil ich die Aufgabe gerne verstehen würde.

Comments

Mit der Gleichung stimmte ja etwas nicht. Wie ist die denn genau? 

f(x^{2})=3x^{2}

passt zum "homogenen Teil" mit der darstellenden Matrix, die du da angefügt hast und ist offenbar so gegeben. 

Answer 1

Die Gleichung der Abbildung ist wohl unvollständig. Da steht \[f\left(\sum_{i=0}^{2}\right)=x\left(\lambda_1+2\lambda_2\right)+\sum_{i=0}^{2} \lambda_{i} x^{i},\] wenn ich das richtig gesehen habe. Das sollte wohl eher \[f\left(\sum_{i=0}^{2}\lambda_{i}x^{i}\right)=x\left(\lambda_1+2\lambda_2\right)+\sum_{i=0}^{2} \lambda_{i} x^{i}\] lauten, wenn ich mich nicht irre. Denn das würde Sinn machen und zu \[f(1)=1\]\[f(x)=2x\] \[f(x^2)=3x^2\]

passen.\(\)

Comments

Korrektur zu meinem vorigen Kommentar:

Die von mir angegebene Gleichung \[f\left(\sum_{i=0}^{2}\lambda_{i}x^{i}\right)=x\left(\lambda_1+2\lambda_2\right)+\sum_{i=0}^{2} \lambda_{i} x^{i}\] passt nicht zu \(f(x^2)=3x^2\). Da hatte ich kurz nicht aufgepasst. Stattdessen wäre dann \[\begin{aligned}f\left(x^2\right) &= f\left(0\cdot x^0 + 0\cdot x^1+1\cdot x^2\right)\\&=x\left(0+2\cdot 1\right)+0\cdot x^0+0\cdot x^1 + 1\cdot x^2 \\&= 2x+x^2\text{.}\end{aligned}\]

Dann hättest du mit \(f(x^2)=2x + x^2\) recht. Aber natürlich solltest du nochmal schauen, ob ich die Gleichung richtig erkannt habe.

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Ja, du hast die Gleichung richtig erkannt und wir haben in der Musterlösung f(x²)=3x²  stehen aber dann ist das wohl falsch. Danke für deine Hilfe