Lösungswert einer Extremwertaufgabe: Querschnitt eines Flussbeets

Question

Kann mir jemand den Lösungswert hierfür aufzeigen?

Aufgabe: Für die Beschreibung des Querschnitts eines Flussbettes interessiert der Graph Gf der Funktion f mit der Gleichung f(x)= 1/2 x^2 - 4x + 7/2 im Intervall [1;7]. Die Abszissenachse stelle die Wasseroberfläche dar. Vom Punkt P1 (1;0) wird ein Stein ins Wasser geworfen. Seine Flugbahn entspricht dem Graphe Gg der Funktion mit der Gleichung g(x)= -1/4 x^3 + 1/2 x^2 + 11/4 x -3. Grundsätzlich gilt : 1 LE= 1m.

Nennen Sie die maximale Tiefe t des Flusses und geben Sie die Koordinaten des Punktes P2 an, an dem der geworfene Stein auf dem Grund auftrifft.

Answer 1

f hat Nullstellen bei 1 und 7, also tiefste Stelle bei (1+7)/2 = 4

Und wegen f(4) = -9/2 = -4,5 ist der Fluß an der tiefsten Stelle 4,5m tief.

Für den Punkt, an dem der Stein liegen bleibt löse

-1/4 x^3 + 1/2 x^2 + 11/4 x -3  =  1/2 x^2 - 4x + 7/2

führt auf   x^3 - 27x + 26 = 0

Du kennst eine Lösung x=1 , also dividiere durch (x-1) ,

das gibt x^2 + x -26

Und das =0 gesetzt gibt

x= 4,623...   oder  x = -5,623...

Da nur pos. Lösung sinnvoll ist, ist der gesuchte Punkt

P2 ( 4,623  ;  -4,306 ).

Comments

Für den Punkt, an dem der Stein liegen bleibt löse ...

Na ja - die Annahme, dass die 'Flugbahn' auch unter Wasser fort geführt wird, ist schon sehr spekulativ. Die Flugbahn definiert ja nur die Stelle, bei der Stein auf das Wasser auftrifft.

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Aber dann einfach nur senkrecht runter ist vielleicht auch

nicht so ganz echt ???

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Die Aufgabe ist wirklich sehr interpretations würdig :)

Eine Fallunterscheidung, senkrecht nach Eintauchen in das Wasser und einmal mit fortgesetzter Strecke, wie mathef und ich gerechnet haben, deckt alle Fälle ab... :D

Answer 2

Hi,

ich habe dir mal eine Zeichnung erstellt.

Punkt A ist die Tiefste Stelle, ergibt sich aus 1+7 = 8 /2 = 4. einsetzen von 4 in f(x) = f(4)=-4.5

Punkt B ist die Stelle, an der der Stein liegen bleibt. Dazu Gleichsetzen der Beiden Funktionen.

Aus dem Gleichsetzen resultieren zwei Möglichkeiten, eine Außerhalb des Flussbettes und einmal innerhalb des Flussbettes bei ca. B(4.6|-4.3)