Dimension und Untervektorräume von Vektorräumen mit Funktionen

Question

f1(x) = x^2 -2x

f2(x) = 3

f3(x) = (x-1)^2

Es bezeichne VR den Vektorraum aller funktionen von R nach R und es sei U := span{f1,f2,f3} Teilmenge von VR, sowie U`:= {f element U : f(0)=0}

Bestimmen sie die Dimension von U

Zeigen Sie, dass U´ein Unterraum von U ist und bestimmen sie die Dimension von U´

Wie muss ich bei dieser aufgabe genau vorgehen? Ich finde leider keinen Anfang.

Answer 1

Schau mal erst, ob f1, f2, f3 lin. unabhängig sind

(Dann wären sie eine Basis von U und es wäre dim=3)

a*f1 +b*f2+c*f3 = 0   gibt

(a+c)*x^2 +(-2a-2c)*x + 3b+c = 0

==>  a+c=0   und -2a-2c=0   und  3b+c= 0

Das hat aber mehr als nur die Lösunga=b=c=0 , nämlich etwa auch

a=3   c=-3   und  b=1  .

Also sind  f1, f2, f3 lin. abhängig . Aber z.B.  f1 und f2 alleine nicht.

Also ist dim=2.

Das U' ein Unterraum ist, zeigst du durch nachprüfen

eines Unterraumkriteriums und die Dimension ist 1;

denn von den 3 Erzeugenden ist nur bei f1 die Bedingung

f(0)=0 erfüllt.