Matrix in Polynom eingesetzt ergibt 0 - Eigenwerte auch

Question

Hallo liebe Leute, kann mir bitte jemand bei folgender Aufgabe helfen?

1.) Es sei A eine Matrix aus dem K^{nxn}. p(x) ist ein Polynom aus dem K[x], für das gilt p(A)=0. Ich soll dann zeigen, dass für alle Eigenwerte l von A, die Beziehung p(l)=0 gilt.

Ich hab schon ein bisschen recherchiert, nur die Sätze, wie Cayley Hamilton haben wir nicht gemacht, außerdem sagt mir glaub ich keiner, dass es nicht andere Polynome als das charakteristische Polynom gibt, sodass p(A) gleich 0 ist. Deswegen steh ich ziemlich am Schlauch.

LG Mathstiger

Comments

Vielleicht hilt, dass \(A^kv=\lambda^k v\) gilt, wenn \(\lambda\) ein EW und \(v\) ein EV von \(A\) ist.

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Nein tut mir leid, eigentlich hilft mir das nicht allzu viel weiter. Ich kann doch nicht einfach so argumentieren: (A^k) * v = (l^k)*v <=> mit Kürzen: A^k = l^k und setzt ein und ist fertig. Das Problem ist ja aber, dass ich das da niemals kürzen darf. Da kommt links eine Matrix und rechts ein Spaltenvektor raus.

Mit der Bitte um weitere Hinweise

Mathstiger

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Sei \(p(x)=\sum a_kx^k\) und \(\lambda\) ein EW zum EV \(v\) von \(A\).
Nach Voraussetzung ist \(p(A)=0\), also auch \(p(A)\cdot v=0\). Es folgt
\(0=\left(\sum a_kA^k\right)\cdot v=\sum a_kA^kv=\sum a_k\lambda^kv=\left(\sum a_k\lambda^k\right)\cdot v\).
Wegen \(v\ne0\) ist also \(\sum a_k\lambda^k=0\), d.h. \(p(\lambda)=0\).

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Oh Mann, ist das leicht.

Danke