Konvergenz zeigen anhand der Grenzwertdefinition

Question

Ich hab eine Aufgabe bei der ich wirklich gar keinen Plan habe, wie ich da herangehen soll:

a) Zeigen Sie elementar, das heißt direkt anhand der Grenzwertdefinition und ohne Rechenregeln für Grenzwerte, dass die Folge \( (a_n) \) mit:

$$ a_n := \frac{n!}{n^n} $$

konvergiert. Ab welchem Index \( n_0 \) sind die Folgenglieder kleiner als \( ε := 10^{-3} \)?

Answer 1

schätze ab:

$$|\frac{n!}{n^n}-0|=|\frac{n!}{n^n}|=\frac{n!}{n^n}=\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}*...*\frac{1}{n}<\frac{1}{n}$$

Das n_0 findest du dann gemäß

$$\frac{1}{n_0}=10^{-3}\\ n_0=1000 $$