positiv(semi)definite Matrix

Question

Bestimmen Sie die α ∈ R für welche folgende Matrix positiv (semi)definit:

     α  1  0

A=1 2α 1

     0  1  α

Positiv semidefinit heißt: für alle x∈V ist s(x,x)≥0 oder alle Eigenwerte ≥ 0

Answer 1

det(A -x*E) = -(x-a)*(x^2 -3ax +2*(a^2-1))

Gibt Eigenwerte a und 3a/2 ±√(a^2 + 8)

Also muss schon mal a≥0 gelten und

3a/2 ±√(a^2 + 8)  ≥ 0

<=> 3a/2  ≥   ±√(a^2 + 8)

Wenn links ein minus steht, ist es wegen a≥0 eh erfüllt.

Ansonsten kannst du quadrieren:

          9a^2 / 4 ≥  a^2 + 8

           9a^2  ≥  4a^2 + 32

             5a^2 ≥ 32

               a^2 ≥ 6,4

und da nur was mir a≥0 in Frage kommt:

                 a ≥ √6,4 =√(0,64*10) = 0,8*√10  .

Also sind nur für   a ≥  0,8*√10   alle Eigenwerte

nicht negativ und damit die Matrix pos. semidefinit.

Comments

vielen Dank für Deine Antwort

<=> 3a/2  ≥  ±√(a2 + 8)

ich hab leider nicht so ganz verstanden, warum du das gemacht hast.?

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Vorher war es ja

3a/2 ±√(a² + 8)  ≥ 0   wegen: Eigenwerte nicht negativ

Dann einfach die Wurzel auf die andere Seite gebracht.