Verständnis-frage: lagrange polynom

Question

Hallo miteinander,

ich bin gerade dabei mir die Interpolation von Funktionen durch Polynome anzueignen, jedoch bin ich auf ein Problem mit meinem Verständnis gestoßen. Wieso muss das k-te lagrange-Poylnom der k-ten Stützstelle gleich eins sein? Ich weiß nicht ob ich es von Grund auf falsch verstanden habe oder ich einfach nur ein kleines Detail übersehen habe. Könnte mir jemand diesen Sachverhalt erklären? Viel Dank im Voraus!

Comments

Schreib doch wenigstens die Formel, ueber die Du diskutieren willst, auch hin.

Answer 1

Eigentlich müsste das a_0 sein. Aber a_0=1 schließt sich der Kreis:

https://www5.in.tum.de/lehre/vorlesungen/konkr_math/06_07/prog/PA3/AngabePA3.pdf

Answer 2

  Weißt du, was ===>  ortogonale Funktionensysteme sind?  ( k + 1 ) Knoten legen eindeutig ein Polynom vom Grade k fest.  Nach dem Verfahren von Giuseppe Lodovico Spaghettix Pomodoro Lagrangia da Torino kannst du ( k + 1 ) Basispolynome angeben, die der Ortonormalitätsforderung genügen

      p_i  (  x_k  )  =  DELTA  (  i  ;  k  )       (  1  )

     mit DELTA = Kronecker_Delta .  Angenommen du hast ein allgemeines Polynom

     p  :=  a_k  p_k      (  2a  )

    wobei ich die ===>  Einsteinsche  Indexkonvention voraus setze .  Was passiert jetzt?

   p  (  x_m  )  =  a_k  p_k  (  x_m  )  =  a_k  DELTA  (  k  ;  m  )  =  a_m      (  2b  )

   Deshalb macht man das doch; wenn das Polynom die Bedingung erfüllen soll

    p  (  x_m  )  =  a_m    (  3a  )

     dann musst du genau die Linearkombination nehmen

     p  =  a_m  p_m      (  3b  )