Gebrochenrationale Funktion konstruieren mit Nullstellen, Polstellen und Asymptote

Question

Hallo kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen, ich komme nicht weiter?

Konstruieren Sie eine gebrochen-rationale Funktion h mit den Eigenschaften:

1) Der Graph von h besitzt bei x1= -2 , x2= 0, x3= 3 Nullstellen.

2) Bei x4= -1 und x5= 1 liegen Polstellen vor.

3) Die Gerade g mit g(x) = 2x-2 ist die Asympote des Graphen von. h.

Answer 1

Die Nullstellen erzeugen den Zähler a·x(x+2)(x-3)=a·x³-a·x²+6a·x

Der Nenner heißt (x+1)(x-1)=x²-1 und die Polynomdivision (a·x³-a·x²+6a·x)/(x²-1) soll den ganzrationalen Anteil 2x-2 ergeben. Dann muss a=2 gelten und die Funktion nat die Gleichung f(x)=(2x(x+2)(x-3))/(x²-1).

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Muss ich bei der Aufgabenstellung auch den Graphen zeichnen?

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Das weiß ich nicht, aber hier ist er:

Answer 2

einfachster Ansatz

h(x) = 2x-2 +  (a+bx) / ( x^2 -1 )

Einsetzen der 3 Nullstellen gibt

-2-a=0  und  -6+(a-2b)/3=0 und 4+(a+3b)/8  =  0

Das hat die Lösung a=-2 und b=-10 , also

h(x) =  2x-2 +  (-2 -10x) / ( x^2 -1 )