Gebrochenrationale Funktion f(x)= (4x^2+1)/(5x^2-1). Wesentliche Aspekte?

Question

Kann mir hier jemand weiterhelfen?

Untersuchen Sie die wesentlichen Aspekte der Funktion f mit f(x)= (4x^2+1)/(5x^2-1)

Comments

und noch einen Graph dazu

Answer 1

Aspekte könnten sein:

Nullstellen, Polstellen

Extremstellen, Hochpunkte Tiefpunkte

Monotonieverhalten

Definitionsbereich

...

Answer 2

Funktion & Ableitungen
f(x) = (4·x^2 + 1)/(5·x^2 - 1) = 0.8 + 1.8/(5·x^2 - 1)
f'(x) = - 18·x/(5·x^2 - 1)^2
f''(x) = 18·(15·x^2 + 1)/(5·x^2 - 1)^3

Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = - 1

Nullstellen f(x) = 0
4·x^2 + 1 = 0 --> Keine

Definitionslücken, Polstellen: Nenner = 0
5·x^2 - 1 = 0 --> x = ± √(1/5) = ± 0.4472 --> Polstellen, weil Zähler immer > 0 ist

Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereiches
lim (x --> - ∞) f(x) = 0.8+
lim (x --> - √(1/5)-) = ∞
lim (x --> - √(1/5)+) = - ∞
lim (x --> √(1/5)-) = - ∞
lim (x --> √(1/5)+) = ∞
lim (x --> ∞) = 0.8+

Extrempunkte f'(x) = 0
- 18·x/(5·x^2 - 1)^2 = 0 --> x = 0
f(0) = - 1 --> HP(0 | - 1)

Wendepunkte f''(x) = 0
15·x^2 + 1 = 0 --> Keine