DIF(1 + x^2)y' + xy - xy^2 = 0, wie substituere ich

Question

(1 + x^2)y' + xy - xy^2 = 0 ich muss die allgemeine Losung der Differentailgleichung bestimmen. Ich möchte mit z = 1/y substituieren.

Dafür forme ich es um zu = y =1/z. Und jetzt die Ableitung: y' = 1/z'. Ist das die richtige Ableitung. Bin mir unsicher, kann mir da jemand helfen. Und eventuell mit mir auch die Dif. gleichung lösen? Ich möchte die Bernoulli-Differenzialgleichung dazu anwenden...

Answer 1

das ist eine separierbare Gleichung.

Forme um zu

y'/(y(y-1))=x/(1+x^2)

dy/(y(y-1))=x/(1+x^2) dx

und integriere nun.

Nur noch als Anmerkung

Wenn du eine Substitution wie z.B

y=1/z=z^{-1} machst, dann musst du die Kettenregel beachten, denn z ist eine Funktion von x.

Also y'=-z'/z^2

Comments

also bist hierhin habe ich es : y'/(y(y-1))=x/(1+x2)

aber den nächsten schritt mit dy und dx ist mir nicht ganz verständlich. könntest du das nochmal erklären. vorallem wie integriere ich dann und wo hast du da die substitution angewendet.

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es ist y'= dy/dx

Multipliziere die Gleichung nun mit dx

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wo wird aber da die substitution benutzt? könntest du es zu ende rechnen. mir wird das nicht ersichtlich wie man das integriert und wo da die substitution angewendet wird

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die Substitution wird auf der rechten Seite benutzt:

$$\int \frac{x}{1+x^2}dx\\ subts: 1+x^2=u,du=2xdx\\ \int \frac{x}{1+x^2}dx=\int \frac{x}{u}du/(2x)=\int \frac{1}{2u}du=1/2ln(|u|)=1/2ln(|1+x^2|)$$

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erstmal vielen dank..

ich wollte aber mit z = 1/y substituieren :D

jetzt steh ich wieder mit nichts da :(

Answer 2

Wenn du es so machen willst, es geht besser mit Trennung d. Variablen.

z=1/y

y=z^ (1/(1-n)) -------->n=2

y=1/z

y'=1/(1-n)*z^{n/(1-n)} *z'

y'= - z^{-2} *z'

das setzt Du in die DGL ein.

Comments

könntest du mir bei der dgl noch helfen? hab das bis hierhin und weiß nicht wo ich da substituiere und wie ich da integriere...

= > y'/(y(y-1))=x/(1+x2)

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weiter geht es so:

(1 + x^2)y' + xy - xy^2 = 0

(1 + x^2)y' + xy  =  xy^2 |:(1 + x^2)

y' + x/(1+x^2) y  =  x/(1+x^2)* y^2

setze alles ein:

z' - x/(1+x^2) *z = (-x)/(1+x^2)

-------->dann Variation der Konstanten usw.

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ich substituiere aber mit z=1/y. du hast beim einsetzen y mit z ersetzt...

das was du gemacht hast, verwirrt mich nur nonch mehr haha

könntest du erklären wieso du überhaupt so umformst und dann was du für was eingesetzt hast? und dann auch integrieren?

ich hab nämlich für y'= z'/z^2 und für y = 1/z