Definitionsbereich von Funktionen?

Question

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Ganz kurze Frage, viele Aufgaben im Fach Numerik fangen momentan so an:
Sei f: R -> R: Suche x € R mit f(x) = 0

Wofür steht das R -> R? manchmal steht auch R -> R^2 oder ähnliches.

Danke für eure Zeit!

Answer 1

f: R -> R

f ist eine Funktion, die ein Element der Menge R als Eingabe bekommt und ein Element der Menge R als Ausgabe liefert.

manchmal steht auch R -> R² ...

Dann handelt es sich um eine Funktion, die ein Element der Menge R als Eingabe bekommt und ein Element der Menge R² als Ausgabe liefert.

Wichtig dabei ist, dass für jedes Element aus R eine Ausgabe berechnet werden kann. Eine Definition

        f: ℝ → ℝ, x ↦ 1/x

ist deshalb nicht zulässig; es ist 0 ∈ ℝ, aber f(0) kann nicht berechnet werden. Andererseits braucht aber nicht jedes x ∈ ℝ tatsächlich als Ausgabe vorliegen. Die Funktion

        f: ℝ → ℝ, x ↦ x²

ist zulässig; obwohl es kein x ∈ℝ gibt, für das f(x) = -1 ist.

Answer 2

Das R auf der linken Seite ist dein Definitionsbereich. Also gerade die Menge, die vorgegeben ist. Aus ihr nimmt man die Elemente und setzt sie in die Funktionsvorschtrift ein. Nun kann diese Vorschrift verschieden aussehen, zB, soll jedes Element verdoppelt werden und dann noch ihr Quadrat addiert werden, was in Kurzform lautet: 2x+x^2. Die Zahl die man dann erhält liegt wieder in einer Menge, die Zielmenge, die durchaus gleich sein kann, aber nicht muss! Du kannst auch ein Element durch eine derartige Vorschrift so abbilden, sodass du nicht nur eine Zahl bekommst, sondern ein geordnetes Paar von Zahlen, in Form eines Tupels (gerne als Vektor bezeichnet). Das passiert auch oben in deiner Frage. Deine Zielmenge ist R^2. Du bekommst also ein Tupel als Ergebnis ausgespuckt. So hast du in der x-Komponente eine Zahl und in der y-Komponente. Dort stehen jeweils die Vorschriften, was mit der Zahl, aus der Definitionsmenge passieren wird. ZB.

$$ \begin{pmatrix} x+1 \\ 10x \end{pmatrix} $$ Dabei ist x+1 die x- und 10x die y-Komponente. Beide Komponeneten sind jeweils aus R, weshalb R^2 da steht, wobei man auch RxR schreiben kann.

Answer 3

Sei f: D -> K, d.h.
die Abbildung f bildet jedes Element in D auf genau ein Element in K ab. Dein D ist also der Definitionsbereich und das K die Zielmenge.

IR -> IR ist also eine Abbildung von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen.

IR -> IR² eine von den reellen Zahlen in die Ebene.

IR³ -> IR eine vom 3d Raum in die reellen Zahlen, etc.

Frage an dich:
Hast du vor Numerik keine Veranstaltung wie LA/Ana gehört?

Comments

Für die Unwissenden

LA = Lineare Algebra

Ana = Analysis

Dank mir später ...