bijektive abbildungen zeigen

Question

Aufgabe: Seien K ein Körper, V,W zwei endlich dimensionale K –Vektorräume, so dass

dimK(V) = dimK(W) und V →W eine lineare Abbildung ist. ( f ist über dem Pfeil)
Beweisen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
•f ist injektiv.
•f ist surjektiv.
•f ist ein Isomorphismus.

ist das nicht eigentlich so, dass durch die Bedingung V=W es eh nur bijektiv sein kann. Weil jedem Wert ein eindeutiger zugeordnet wird. oder wie sollte man das hier beweisen?

Answer 1

ist das nicht eigentlich so, dass durch die Bedingung V=W es eh nur bijektiv sein kann. Weil jedem Wert ein eindeutiger zugeordnet wird. oder wie sollte man das hier beweisen?
Nein, wenn du alle Elemente von V auf die 0 von W abbildest, ist das auch eine lineare Abbildung.

Außerdem ist nicht V=W sondern: gleiche Dimension (etwa n) vorausgesetzt.

Zu dem Beweis hier benutzt du am besten eine Basis von V.

Und wenn f injektiv ist, wird jedes lin. unabh. System von V auf ein linear unabhängiges

System von W abgebildet.

Also wird die Basis auf n linear unabh. Vektoren von W abgebildet, also ist dim( Bild(f)) auch

n-dimensional und als n-dim-Teilraum von W dann eben gleich W.

Also f surjektiv.

Ist umgekehrt f surjektiv dann ist das Urbild einer Basis von W eine Basis von V

und entsprechend folgt f Injektiv.

Aus jedem der beiden "Injektiv" und "surjektiv" folgt also das andere,

damit dann auch, dass es ein Isomorphismus ist.