a) f ' (x) = 16*e^{2x} / ( e^{2x} + 4)^2 ist immer positiv, also
f streng monoton und damit Injektiv.
b) f^2 (x) = ( e^{2x} - 4)^2 / ( e^{2x} + 4)^2 , also passt es.
c) f^{-1} ' (y) = 1 / f ' (x) mit y= f(x) gibt b) f ' (x) = 1 - y^2
also f^{-1} ' (y) = 1 / ( 1 - y^2 ) oder eben das gleiche mit x.
d) y = 1 − 8 / (e^{2x} +4 )
<=> 1 - y = 8 / (e^{2x} +4 )
<=> (1 - y)* (e^{2x} +4 ) = 8
<=> e^{2x} +4 = 8/ (1-y)
<=> e^{2x} = 8/ (1-y) - 4
<=> 2x = ln ( 8/ (1-y) - 4 )
<=> x = 0,5 * ln ( 8/ (1-y) - 4 )
Also f ^{-1} (x) = 0,5 * ln ( 8/ (1-x) - 4 )
= 0,5 * ln ( 8/ (1-x) - 4(1-x)/(1-x )
= 0,5 * ln ( (8-4+4x)/ (1-x) )
= 0,5 * ln ( (4+4x)/ (1-x) )
Ableitung gibt in der Tat f^{-1} ' (x) = 1 / ( 1 - x^2 )