Aufgabe mit Ableitung von f(x) := 1 − (8 / (e^{2x} +4 ) ).

Question

bin gerade bei dieser Aufgabe und bräuchte wirklich eure Hilfe.

Die Funktion f : ℝ → ℝ  f(x) := 1 − (8 / (e^2x +4 )
1. Beweisen Sie, dass f injektiv ist und zeigen Sie das f´(x) = 1 − (f(x))².
2. Berechnen Sie mit Hilfe von (1.) die Ableitung der Umkehrfunktion von f .
3. Bestimmen Sie eine explizite Darstellung von f⁻¹ und berechnen Sie damit erneut die Ableitung von f⁻¹.

Comments

EDIT: In der ersten Zeile fehlt eine schliessende Klammer.

f(x) := 1 − (8 / (e^{2x} +4 )

Korrigiert zu

f(x) := 1 − (8 / (e^{2x} +4 ) ) 

Answer 1

a) f ' (x) = 16*e^{2x} / ( e^{2x} + 4)^2  ist immer positiv, also

f streng monoton und damit Injektiv.

b)  f^2 (x) = ( e^{2x} - 4)^2  / ( e^{2x} + 4)^2   , also passt es.

c)  f^{-1} ' (y) = 1 / f ' (x)     mit   y= f(x) gibt b)   f ' (x) = 1 - y^2

also    f^{-1} ' (y) = 1 / ( 1 - y^2 )   oder eben das gleiche mit x.

d)    y = 1 − 8 / (e^{2x} +4 )

<=>  1 - y = 8 / (e^{2x} +4 )

<=>  (1 - y)* (e^{2x} +4 ) = 8

<=>  e^{2x} +4  = 8/ (1-y)

<=>  e^{2x}  = 8/ (1-y)   - 4

<=>  2x =   ln ( 8/ (1-y)   - 4 )

<=>  x  = 0,5 * ln ( 8/ (1-y)   - 4 )

Also f ^{-1} (x) =  0,5 * ln ( 8/ (1-x)   - 4 )

=  0,5 * ln ( 8/ (1-x)   - 4(1-x)/(1-x )

= 0,5 * ln ( (8-4+4x)/ (1-x)   )

= 0,5 * ln ( (4+4x)/ (1-x)   )

Ableitung gibt in der Tat    f^{-1} ' (x) = 1 / ( 1 - x^2 )