R2 → R2 ,(x, y) → (x + 2y, 2x − y)

Question

Aufgabe:

Untersuche diese Abbildung auf Injektivität und Surjektivität:

R² → R² ,(x, y) → (x + 2y, 2x − y)

Ich habe die Lösung als lineares Gleichungssystem versucht, also mit x + 2y = n und 2x -y = k. Weshalb x = n - 2y und 2n -5y = k sind... wie man jetzt weitermachen könnte bzw. ob es so überhaupt richtig ist, weiß ich nicht und bin mir unsicher.

Vielen Dank für jede Hilfe^^

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Abbildungsvorschrift als Matrixgleichung formulieren:

$$f(x;y)=\binom{f_x}{f_y}=\binom{x+2y}{2x-y}=x\binom{1}{2}+y\binom{2}{-1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & -1\end{array}\right)\binom{x}{y}$$Da die Matrix invertierbar ist, ist die Abbildung bijektiv, also injektiv und surjektiv:$$\binom{x}{y}=\frac15\left(\begin{array}{rr}1 & 2\\2 & -1\end{array}\right)\binom{f_x}{f_y}$$