Eigenwert berechnen (Matrix)

Question

Habe folgende Matrix und soll die Eigenwerte berechnen.

2   -2   3

0    3   -2

0   -1   2

Kann mir jemand mit der Lösung helfen? Habe die Matrix erweitert um die ersten beiden Spalten (mit - Lambda). Dann ausmultipliziert.

Jetzt steht da bei mir: 12 - 16λ + 7λ² - λ³

Ich vermute irgendetwas ist falsch, komme hier nicht weiter.

Würde mich über Hilfe freuen!

Answer 1

Ich habe erhalten:

(2-λ)^2 *(3-λ) -2(2-λ)=0

(2-λ)((2-λ) *(3-λ) -2)=0

Satz vom Nullprodukt:

(2-λ)=0 ->λ₁=2

(2-λ) *(3-λ) -2=0

λ₂=4

λ₃=1

Lösungen(4,2,1)

Comments

könntest du mir deinen kompletten Lösungsweg vielleicht abfotografieren?

Wäre glaub sehr hilfreich!

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Hi Juan,

hilft Dir dies weiter?: $$\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & -2 &3 \\ 0 &3-\lambda &-2 \\ 0&-1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \\= (2-\lambda)(3-\lambda)(2-\lambda) + 0 + 0 -(2-\lambda)(-2)(-1)- 0 - 0 \\= (2-\lambda)\left( (3-\lambda)(2-\lambda) -2\right) \\= (2-\lambda)(\lambda^2 - 5 \lambda + 4) \\\Rightarrow \lambda_1=2; \quad \lambda_2=1; \quad \lambda_3=4$$

siehe auch Determinante für 3x3-Matrix.

---

@Juan

konnte leider nicht sofort antworten.

Regel nach Sarrus:

| 2-λ   -2     3     |  2-λ  -2

| 0     3-λ     -2   |  0    3-λ                         =  0

| 0      -1      2-λ |  0    -1

----->

=(2-λ) *(3-λ) *(2-λ) +0 +0 -(0 +(-1)*(-2)*(2-λ) +0)=0

=(2-λ) *(3-λ) *(2-λ) -2((2-λ)) =0

=(2-λ) ((3-λ)*(2-λ) -2)=0

---------> Rest siehe oben

Answer 2

entwickle die Determinante nach der ersten Spalte.

Dann hast du sofort den Eigenwert 2.

Es bleibt noch eine quadratische Gleichung zu lösen, um die anderen beiden Eigenwerte zu finden.

Answer 3

  Man sieht sofort, dass der kanonische Vektor  e1 = ( 1 | 0 | 0 ) Eigenvektor ist zum Eigenwert E1 = 2 .  Jetzt argumentiere über die Spur:

    Sp  (  M  )  =  E1  +  E2  +  E3  =  E2  +  E3  +  2  =  2  +  3  +  2       (  1a  )

     E2  +  E3  =  5      (  1b  )

   Als Nächstes entwickeln wir die Determinante nach der ersten Spalte.

   det  (  M  )  =  E1  E2  E3  =  2  E2  E3  =  2     |     3  - 2     |

                                                                             |   - 1    2     |         (  2a  )

        E2  E3  =  4      (  2b  )

    Wisst ihr was? Ich argumentiere immer mit Vieta dem geschmähten Stiefkind;  für die Säkulardeterminante von M mache ich den quadratischen Ansatz

       p_M  (  x  )  =  x  ²  -  p  x  +  q        (  3a  )

     p  =  E2  +  E3  =  5         (  3b  )     (  auf Grund ( 1b ) )

     q  =  E2  E3  =  4     (  3c  )     (  auf Grund  (  2b  )  )

    p_M  (  x  )  =  x  ²  -  5  x  +  4     (  3c  )

   Als Lösungsverfahren entscheiden wir uns für den ===>  Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )   Da das Polynom  ( 3c ) normiert ist, sieht der SRN ausschließlich ganzzahlige Wurzeln vor.  D.h. in ( 2b )  hat die 4 die triviale Zerlegung 4 = 1 * 4 so wie die nicht triviale 4 = 2 * 2 Letztere müssen wir aller Dings verwerfen, weil E2;3 TEILER FREMD sind.

   Woher weißmich das auf einmal wieder?

   Machen wir erst mal fertig;   außerdem haben wir  auch noch ein zweideutiges Vorzeichen, weil ja " Minus Mal Minus "  auch Plus ergibt.

   Für soche Fälle wurde die cartesische Vorzeichenregel erfunden

   " Zwei Mal Plus "

     0  <  E2  <  =  E3      (  4a  )

     E2  =  1  ;  E3  =  4    (  4b  )

    Ist das schon ein voll gültiger Beweis?  Nein; wo steht, dass die Lösungen rational sind? Hinreichende Bwdingung - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist  erst Vieta p in   (  1b  )

   Aufgeschoben ist nicht aufgehoben; wie war das jetzt mit dem ggt?   Sei m ein Teiler; dann folgt wieder aus Vieta

    m  |  E2;3  <===>  m  |  p  ;  m  ²  |  q       (  5a  )

    Ein m, das die rechte Seite von ( 5a )  befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms p_M  in  (  3a  )  heißen -  "  K  "  wie  "  Koeffizient  "  Der größte K-teiler ist dann selbst redend der gkt .  Unsere Behauptung   in ( 3a  )

    ggt  E2;3  =  gkt  (  p_M  )      (  5b  )

    Und nicht zuletzt daher rührt ja mein Fälschungsvorwurf.  Wiki et al. behaupten blauäugig bis Dreist, Entdecker des SRN sei ajsgerechnet Teilerfürst Gauß.   In den verflossenen 200 Jahren wäre vor mir niemand auf den gkt gestoßen ...