Rechteck anhand von Fläche

Question

Die Punkte A(-5/-1) und B(1/-2) bilden die Seite eines Rechtecks ABCD mit Flächeninhalt 74. wie lauten die Koordinaten der Ecke D.

Ich habe versucht über den Betrag von AB auf D zu kommen, hat aber nicht geklappt:

|AB|= √6^2 + 1^2 = √37

A= a*b = √37 * b = 26

b=4.27

Wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Answer 1

ich habe meinen Vorschlag als Bild angehängt.

Gruß

Smitty

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Jetzt verstehe ich es :)

Answer 2

Eine andere Lösungsvariante
A (-5 | -1)
B ( 1 | -2)
Seite a
Abstand = √ [ ( -5-1 ) ^2 + ( -1 - (-2) ) ^2 ]
= √ ( 36 + 1 )
= √ 37 = 6.083

Seite d
a * d = 74
d = 74 /√ 37 = 12.166

Steigung Seite a = Δ y / Δ x
m_a = 1 / -6 = -0.16666
Steigung Normale ( Seite d )
m_d = -1 / m_a = 6
Winkel delta = 80.538 °

Bekannt von DC
d = 12.166
delta = 80.538 °
sin ( delta ) = Δ y / 12.166
Δ y = 11.987
cos ( delta ) = Δ x / 12.166
Δ x = 2

Dx = Ax + 2 = -5 + 2 = -3
Dy = Ay + 11.987 = -1 + 11.987 = 10.987

D ( -3 | 10.987 )

Comments

Der Grafik stimmt nicht ganz.
Die beiden rechten Punkte stimmen nicht.

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Wie komme ich auf den Winkel delta  und dann auf die gleichung sin bzw. cos delta= y/12.166?

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Zunächst :
die Seite des Rechtecks |AB| hat die
Steigung -1/6 ( entspricht -9,46 ° )

Die Seite des Rechtecks |AD| ist die Normale
zu |AB| und hat die Steigung
m = -1/ (-1/6) = 6 entspricht 80.54 °
delta = 80.54 °

Soweit verstanden ?

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Ah ja das habe ich jetzt verstanden danke! Aber noch eine kurze Frage; wieso setze ich es dann in die gleichung cas delta =y/12.166 und sin delta = x/12.166

Dieser Teil der Lösung ist mir nochnicht klar.

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Die Strecke |AD| ist 12.166 und die Hypotenuse
eines rechtwinkligen Dreiecks

sin ( 80.54 ) = Δ y / 12.126
cos ( 80.54 ) = Δ x / 12.126

Dx = Ax + Δx
Dy = Ay + Δy

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Jetzt verstehe ich es.

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann stelle
sie wieder ein.

Answer 3

... noch 'ne Lösung:

Das Rechteck \(ABCD\) wird ausgehend vom Punkt \(A\) durch die beiden Vektoren $$a = B-A = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{ und } \quad d = D - A = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$ aufgespannt. Da beide senkrecht zueinander stehen, ist $$a \cdot d = 0 = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 6x-y = 0$$ und die Fläche des Rechtecks soll =74 sein, folglich ist ihr "Kreuzprodukt" auch 74: $$a \times d = 74 = \begin{pmatrix} 6 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 6y + x = 74$$ $$\Rightarrow x=2; \quad y=12$$ Also liegt der Punkt \(D\) bei $$D = A + d = \begin{pmatrix} -5 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 11 \end{pmatrix} $$

Comments

Wieso gibt D-A (x/y) und nicht (x+5/y+1)?

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Wieso gibt D-A (x/y) und nicht (x+5/y+1)?

Das habe ich einfach so fest gelegt. Primäres Ziel war es, den Vektor \(\vec{d}=D-A\) zu berechnen. Von dort kommt man ja sehr leicht durch Addition der Position von \(A\) zum gesuchten Punkt \(D\). Und \(\vec{d}\) habe ich einfach mit \(\vec{d}= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}^T\) bezeichnet. Ich hätte es auch \(\begin{pmatrix} u & v \end{pmatrix}^T\) nennen können.

Gruß Werner