Zeigen Sie, dass für alle z, w ∈ C die folgenden Gleichungen gelten.

Question

$$ \text{ Zeigen Sie, dass für alle } z, w  \in \mathbb{C} \text{ die folgenden Gleichungen gelten} $$

$$ \text{ A) } \sin(z+\frac{\pi}{2}) = \cos(z) \text{ und } sin(z + \pi) = - sin(z) $$

$$ \text{ B) } \sin(2z) = 2 \sin(z) \cos(z) $$

$$  \text{ C) } \sin(3z) = −4 \sin^3(z) + 3 \sin(z) $$

$$  \text{ D) } \sin(z) − \sin(w) = 2 \cos\left(\frac{z + w}{2}\right) \sin\left(\frac{z − w}{2}\right) $$

Danke :)

Answer 1

das sind doch alles Aufgaben vom gleichen Typ, Definition einsetzen und ein bissel umformen bis die andere Seite dasteht.

a) verwende sin(z)=(e^{iz}-e^{iz})/(2i) und cos(x)=(e^{iz}+e^{iz})/(2)

und e^{i(z+π/2)}=e^{iz}e^{iπ/2}

e^{iπ/2} kannst du leicht mit der eulerschen Formel berechnen.

b) nach Potenzgesetzen ist e^{i(2z)}=(e^{iz})^2

berechne nun jeweils linke und rechte Seite .Vergleiche Real und Imaginärteil beider Seiten, um zur gewünschten Gleichung zu gelangen.

c) geht genau wie b) nur mit der 3 anstelle der 2

d) starte mit dem Term rechts und nutze Definitionen aus, um Richtung linker Seite zu vereinfachen.

Wenn ihr bereits die Additionstheoreme im komplexen gezeigt habt , kannst du die natürlich verwenden. Dann wirds einfacher