ALLE Funktionen
f : |N ===> |N ( 1 )
sind induktiv definiert. So etwa die Fakultät
0 ! := 1 ( 2a )
( n + 1 ) ! = ( n + 1 ) n ! ( 2b )
Übrigens auch die Potenz. Sei M eine beliebige Menge, auf der so etwas wie eine Multiplikation erklärt ist:
f : M X |N ===> M ( 3a )
( x ; n ) ===> x ^ n ( 3b )
x ^ 0 := e = Einselement der Multiplikation ( 3c )
x ^ ( n + 1 ) = x * x ^ n ( 3d )
Ach übrigens; die alte Frage: Macht Internet dumm? Wenn du dich mal weiter bilden willst: Schau dochmal in Wiki unter ===> transfinite Induktion. Dort erfuhr ich also etwas Entscheidendes.
Bekanntlich ist vollständige Induktion das 5. Peanosche Axiom. Es beweist ( angeblich ) eine unendliche Menge von (#einzel)behauptungen. Mein einwand war seit Je: Und was passiert, wenn du den Induktionsschritt bewiesen hast und jemand findet dann doch eines Tages ein Gegenbeispiel?
Hier nun sagt Wiki aus: Das 5. Axiom ist äquivalent der aussage, dass |N WOHL GEORDNET ist - jede Teilmenge der natürlichen Zahlen besitzt ein ( eindeutiges ) kleinstes Element.
Strenhg genommen auch ein Glaubenssatz. Aber klingt doch wesentlich plausibler als Peano in der ursprünglichen Form.
Denn nimm einmal an, jener größte anzunehmende Unfall passiert; induktiv wurde das Prädikat P bewiesen für alle n :
(V) n | P ( n ) ( 4a )
Und jemand findet trotzdem ein Gegenbeispiel. Da aber wie gesagt die Menge |N wohl geordnet ist, besitzt die Menge M_geg aller Gegenbeispiele ein kleinstes n0 . D.h. aber P ( n0 - 1 ) ist wahr, weil ja n0 als das kleinste angenommen war. Du hast aber schon im Induktionsschritt bewiesen
P ( n0 - 1 ) ===> P ( n0 ) ( 4b ) ; Widerspruch zur Annahme
( Streng genommen beinhaltet die Annahme der Wohlordnung ja auch schon eine Blankovollmacht nicht nur über unendlich viele Zahlen, auch solche " jenseits des Ereignishorizonts " , sondern zusätzlich noch einen Blankoscheck über sämtliche Mengen bildenden Prädikate P. Aber " irgendwie " wirkt es eben doch plausibel. )
