Für x,y∈[0,1) definieren wir
x+y:={x+y}={x+y falls x+y<1
{x+y−1 falls x+y≥1
Erst mal Abgeschlossenheit:
Seien also x,y∈[0,1) , also 0≤x<1 und 0≤y<1
Da dann 0≤x+y gilt, ist für x+y<1 also x+y ∈[0,1) erfüllt.
Im Fall x+y≥1 gilt aber x+y<2 und damit 1≤x+y<2 also
0≤x+y<1 und damit Abgeschlossenheit erfüllt.
assoziativ: Da musst du zeigen: Es gilt immer
{({a+b})+c} = {a+({b+c})}.
Da muss man wohl die verschiedenen Fälle durchgehen:
1. Fall a+b +c < 1
Dann ist ja auf beiden Seiten von # das Ergebnis a+b+c,
also alles klar.
2. Fall a+b<1 aber a+b+c ≥ 1
Dann gilt {({a+b})+c} =
{ (a+b) + c } =
(a+b) + c - 1
und rechts steht: {a+({b+c})}.
1. Unterfall b+c < 1 dann gilt
{a+({b+c})} = {a+(b+c)}
Da aber ja a+b+c ≥ 1 ist das = (a+b) + c - 1
2. Unterfall b+c ≥ 1 dann gilt
{a+({b+c})} = {a+(b+c-1)}
und da dann a+(b+c-1) < 1 ist, ist
das Ergebnis a+(b+c-1).
………….…… so musst du alle möglichen Fälle durchexerzieren.
