Urnenmodell mit Zurücklegen und mit Reihenfolge

Question

Ich stehe bei folgender Problemstellung leider ein wenig auf dem Schlauch, vielleicht kann ja jemand helfen:

Gegeben ist eine Urne mit 12 roten und 18 schwarze Kugeln.

Es wird 100 mal eine Kugel gezogen und jeweils zurück gelegt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das mindestens ein mal hintereinander 7 rote Kugeln gezogen werden.

Ich kann berechnen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass 7 rote Kugeln bei 7 Ziehungen gezogen werden.

Ich kann auch berechnen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens 7 rote Kugeln bei 100 Ziehungen gezogen werden.

Aber verbinden können habe ich das leider noch nicht...

Comments

Verwende das Gegenereignis "keinmal 7 rote hintereinander".

---

Hast Du da zufällig eine allg. Formel parat?

Wenn ich das Problem trivialisiere kann ich es durch abzählen lösen, bei obigem Problem wird das aber schwierig:

2 Kugel, eine schwarz eine rot und man zieht drei mal, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 mal hintereinander rot kommt?

R R R

R R S

R S R

R S S

S R R

S R S

S S R

S S S

Hier müsste die Wahrscheinlichkeit doch bei 3/8 liegen...

---

Ereignis RR

R R R  ( 2x )
R R S  ( 1x )
S R R  ( 1x )

4 / 8

Es bleibt verwirrend.

Answer 1

Ich kann berechnen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist,
dass 7 rote Kugeln bei 7 Ziehungen gezogen werden.

Wahrscheinlichkeit rote Kugel
12/30
7 Ziehungen : 7 rote Kugeln
(12/30)^7

Bei 100 Ziehungen können 7 rote Kugeln hintereinander
93 mal vorkommen ( min einmal )

(12/30)^7  * 93

Was meinst du ?
Wurde deine Frage beantwortet ?

Comments

Hallo georgborn, vielen Dank für Deine Antwort.

Tatsächlich hatte ich diese Idee auch schon, bin dann aber zu dem Schluss gekommen, dass sie falsch sein muss.

Würde diese Formel stimmen, wären ja Wahrscheinlichkeiten >1 möglich, bspw. wenn ich 1000 mal ziehen würde, würde dann ja gelten (12/30)⁷  * 993 = 1,63

Das kann mMn nicht richtig sein.

---

Da hast du recht.
Frag mal bei gast2016 nach.
Der weiß das.
Ich überlege noch.

---

Ich kann auch berechnen wie hoch die
Wahrscheinlichkeit ist, dass mindestens 7
rote Kugeln bei 100 Ziehungen gezogen werden.

Meine Gedanken
Ich bilde die Summe aller Wahrscheinlichkeiten
für alle Ziehung in den keine 7 rote Kiugeln
vorkommen. Ziehungsergebnis 0 bis 6 rote Kugeln. Zum Schluß wird 1 minus diese Summe berechnet. Dann haben wir alle Wahrscheinlichkeiten in
denen 7 rote Kugeln vorkommen können.

Die Fälle 0 bis 6 rote Kugeln

1.Fall keine rote Kugel
(18/30)^100

2.Fall : 1 rote Kugel
a. Die erste Kugel ist rot, alle anderen schwarz
12/30 * (18/30)^99
b. Die zweite Kugel ist rot, alle anderen schwarz
Dieselbe Wahrscheinlichkiet wie a.
Für alle 100 Ziehungen
12/30 * (18/30)^99 * 100

3.Fall 2 rote Kugeln
a. 1. Kugel rot, 2.Kugel rot,  alle anderen schwarz
(12/30)^2 * (18/30)^98
b. 1. Kugel rot, 3.Kugel rot,  alle anderen schwarz
(12/30)^2 * (18/30)^98
Der Fall 1.Kugel, eine weitere rot,  alle anderen schwarz
(12/30)^2 * (18/30)^98 * 99

c. 2. Kugel rot, 3.Kugel rot,  alle anderen schwarz
(12/30)^2 * (18/30)^98
d. 2. Kugel rot, 4.Kugel rot,  alle anderen schwarz
(12/30)^2 * (18/30)^98
Der Fall 2.Kugel, eine weitere rot ( außer der ersten ),  alle anderen schwarz
(12/30)^2 * (18/30)^98 * 98

Die Aufsummation aller Fälle
99 + 98 + ... 1
als arthmetische Reihe
( 99 + 1 ) / 2 * ( 100 - 1 ) = 4950

Wahrscheinlichkeit genau 2 rote Kugeln
(12/30)^2 * (18/30)^98 * 4950

So hoffentlich stimmt das.
Gast2016 kann hoffentlich die anderen
Fälle kürzer berechnen.

mfg Georg

---

ich sehe gerade : geht an der Fragestellung vorbei.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das mindestens
ein mal hintereinander 7 rote Kugeln gezogen werden.

---

Mein Ansatz wäre:

P(7 rote hintereinander) = (12/30)^7 = (2/5)^7

--> Gegenereignis G = 1-(2/5)^7

Bei 100 Zügen kann man maximal 14-mal 7 Kugeln ziehen und schauen ob dabei die gewünschte

Kombination (alle sind rot) dabei ist:

--> P= 1- (G^7)^14 = 0,023 = 2,3%

Denkfehler vorbehalten! :)