Frage zu Funktionenschar und stochastischer Matrix

Question

zu folgenden zwei Aufgaben, habe ich einige Fragen.

gegeben ist die Funktionenschar ft(x) = x * e^{-tx}

Bei der 1. Ableitung habe ich via Produktregel f ' t (x) = e-tx (1-tx) raus.

Für die zweite Anwendung nutze ich auch die Produktregel und komme auf:

f '' t(x) = -te^{-tx} (1-tx)+e^{-tx} (-t)

Wie komme ich nun auf die 2. Ableitung f '' t(x) = te^{-tx} (tx-2)

Für einen detaillierten Rechenweg wäre ich sehr dankbar.

Das Extrema der Funktionenschar wäre ein HP bei (1/t | 1/t e^{-1} ).

Nun soll durch die Ortskurve durch die Extrema berechnet werden.

x = 1/t

t = 1/x

ft (1/x) = x * e^-1 Wie komme ich von hier auf das Ergebnis Ortskurve = 0.67x ?

Nun gibt es noch eine stochastische Matrixaufgabe:

Die Einheiten A, B, C werden in einer Fabrik maschinell von A nach B, B nach C und C nach A verschoben.

         A       B      C

M =  0.3    0.1   0.1      A

        0.4    0.7   0.3      B

        0.3    0.2   0.6      C

a) Zu Beginn des Tages stehen 100 Einheiten bei A und je 50 bei B und C. Bestimmen Sie die Verteilung am Ende des Tages:

M * ( 100 / 50 / 50) = ( 40 / 90 / 70)

b) Bestimmen Sie die Verteilung der Einheiten, nach zwei Tagen damit der Zustand (100 / 50 / 50) erreicht wird.

? Bitte um Lösungsansatz

c) Überprüfen Sie ob (100 / 50 / 50) als Endzustand möglich ist, sodass am Ende eines Tages die Verteilung (100 / 50 / 50) ohne Verschiebung durch Mitarbeiter möglich ist.

? Bitte um Lösungsansatz

d) Durch eine umgestalltung innerhalb der Manufaktur nimmt die Sammelstelle C stärker zu als zuvor. Die veränderte Situation wird durch folgende Übergangsmatrix N beschrieben:

         A      B      C

N =  0.4    0.1    0.1      A

        0.1    0.6   0.1      B

        0.5    0.3   0.8      C

Zu Beginn des Tages wird der Zustand (50 / 50 /100) hergestellt. Begründen Sie warum jetzt nach einem oder zwei Tagen die Situation günstiger ist als vorher.

N * (50 / 50 / 100) = (35 / 45 / 120)

N^2 * (50 / 50 / 100) = (30.5 / 42.5 / 127)

Die Verteilung ändert sich nach Tagen nur geringfügig. Ich hoffe das ist so richtig.

Vielen lieben Dank für Lösungen und Rechenschritte!

Answer 1

du musst nur noch geschickt ausklammern.

$$ f_t(x)=x\cdot e^{-t\cdot x}\\ f_t'(x)=1\cdot e^{-t\cdot x}-t\cdot x\cdot e^{-t\cdot x}=e^{-t\cdot x}\cdot(1-t\cdot x)\\f_t''(x)=-t\cdot e^{-t\cdot x}\cdot (1-t\cdot x)-t\cdot e^{-t\cdot x}=-t\cdot e^{-t\cdot x}\cdot ((1-t\cdot x)+1)\\=-t\cdot e^{-t\cdot x}\cdot (2-t\cdot x)=t\cdot e^{-t\cdot x}\cdot (t\cdot x-2) $$

Jetzt die erste Ableitung Null setzen:

$$ f_t'(x)=0=e^{-t\cdot x}\cdot(1-t\cdot x) \qquad x_E=\frac{1}{t} $$

xE in zweite Ableitung:

$$ f_t''(x_E)=t\cdot e^{-t\cdot \frac{1}{t}}\cdot (t\cdot \frac{1}{t}-2)=t\cdot e^{-1}\cdot(-1)=-\frac{t}{e}<0 $$

Also hat man hier einen Hochpunkt!

xE in f einsetzen:

$$ f_t(x_E)=\frac{1}{t}\cdot e^{-t\cdot \frac{1}{t}}=\frac{1}{t}\cdot e^{-1}=\frac{1}{t\cdot e} $$

Dann hat man eine Punktescharr

$$ P_t\Bigg(\frac{1}{t}\Bigg|\frac{1}{te}\Bigg) $$ Man weiß

$$ x=\frac{1}{t} \Leftrightarrow t=\frac{1}{x} \quad (*) \\y=\frac{1}{te} \quad \stackrel{(*)}{\Longrightarrow} y=\frac{1}{e\cdot \frac{1}{x}}=\frac{x}{e} \approx 0,37 x$$

Und das ist dann die Ortskurve.

Comments

EDIT: Hochpunkt nur dann wenn t≥0 gilt.

Answer 2

Zur Matrixaufgabe:

a) ist richtig.

b) Hier ist der Aufgabentext, auch im Vergleich zu c) und d), verunglückt. Vermutlich ist die Verteilung nach zwei Tagen gesucht, also

M^2 * ( 100 / 50 / 50 ) = M * ( 40 / 90 / 70) = ...

c) Löse die Gleichung

M * ( a / b / c ) = ( 100 / 50 / 50 ).

d) Möglicherweise ist hier eine Untersuchung des Grenzverhaltens von Interesse.