Lineare Abbbildung, Verhältniss Kern und Bild bei Verknüpfung

Question

Gegeben seien zwei lineare Abbildungen L1, L2 : Kn → Kn sowie deren Komposition L1 ◦ L2 : Kn → Kn.

a) Welches Verhältnis (⊆, =, ⊇) besteht zwischen Kern(L2) und Kern(L1 ◦ L2)? Wann gilt Gleichheit?

b) Sei nun L1 regulär. Welches Verhältnis (⊆, =, ⊇) besteht zwischen Bild(L1) und Bild(L1 ◦ L2)? Wann
gilt Gleichheit?

Zu a)

Ich vermute L2  ⊆ (L1° L2) da alle Vektoren die im ersteren auf null abbilden ja dann auch in der Verknüpfung davon auf null abbilden müssten. Oder doch nicht in der Anordnung? 

Gleichheit müsste wenn L1 injektiv ist, also nur die Null im Kern liegt, da die doch immer drinn ist...

zu

b) Kann man sagen wenn L1 die Ausganswerte nicht verändert also zbsp eine abbildung über einheitsmatrix?

 regulär heisst doch nur dass dim = dim oder? Was ändert das groß an der Aufgabe?

Comments

Ich vermute L2  ⊆ (L1° L2)

Das ergibt keinen Sinn. L2 und (L1° L2) sind Abbildungen. Bei denen stellt sich nicht die Frage nach einer Teilmengenbeziehung.

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Ich dachte es sei klar das ich den kern meinte wenn ich schreibe zu a...

Answer 1

a) Ker(L2)  ⊆ Ker((L1° L2))     stimmt. injektiv stimmt auch.

b) regulär heißt hier auch bijektiv.

   Bild(L1) ⊇ Bild(L1 ◦ L2)  
Gleichheit gilt, wenn Bild L2 = K^n oder eben L2 auch regulär.

Comments

Danke

Doch warum Bild(L1) ⊇ Bild(L1 ◦ L2) ?

Können durch L2 nicht die Bilder verändert werden oder andere entstehen?l