Lösung Gleichung 3. Grades: -(1/3)x³ - (1/2)x -2 = 0

Question

Ich brauche Hilfe bei der Lösung der Gleichung: -(1/3)x³ - (1/2)x -2 = 0

Ich weiß, dass die Lösung x=-1,54 ist. Ich weiß aber nicht, wie man darauf kommt. Polynomdivision funktioniert nicht. pq-Formel auch nicht. Ausklammern auch nicht.

Kennt jemand eine einfache Lösung?

Danke schon mal im Voraus :)

Comments

Das geht nur mit einem Näherungsverfahren (Newto) oder der Cardano-Formel.

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

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Multipliziere mit \(-3\) und erhalte \(x^3+\frac32x+6=0\).
Substituiere \(x=u-\frac1{2u}\) und erhalte \(u^6+6u^3-\frac18=0\).

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Warum nicht als Antwort? Das ist genial! Wie kommst du immer auf diese Substitutionen?

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Zu (1):  Es gibt schon drei Antworten.
Zu (2):  Etwas allgemeiner sei \(x^3+px+q=0\) zu lösen.
            Substituiere \(x=\frac u3-\frac pu\) und erhalte \(u^6+27qu^3-27p^3=0\).

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@nn

Demnächst wird man dir wohl Punkte für deine sehr guten Kommentare "aufzwingen" :-)

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Schau mal hier :

https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/v/v082.htm

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Wie kommst du aber darauf? Das erscheint mir willkürlich. Ich rechne immer nach Cardano, wenn es um Polynome dritten Grades geht...

Answer 1

-(1/3)x^3-(1/2)x-2=0.   :(-1/3)

x^3+1.5x+6=0

Du hast die reduzierte Form \(x^3+px+q=0\). Nun musst du die Variablen \(v\) und \(u\) berechnen. Stelle das Gleichungssystem auf:

-p=3uv

-q=u^3+v^3

---------------------------------------------------------------------------

-1.5=3uv

-6=u^3+v^3

u≈0.2748

v≈-1.819

Wenn du die beiden Werte berechnet hast, musst du sie in folgende Formel einsetzen, um die Nulletellen zu erhalten:

x1=u+v

x1=0.2748+(-1.819)

x1≈-1.5542

Falls du auch die komplexen Lösungen willst:

x2,3=-((u+v)/2)±((u-v)/2)i√3

Grüße aus Sylt!

Answer 2

Falls dies eine Hausaufgabe ist

Es dürfen nur Fragen gestellt werden bei denen
die Lösungsmöglichkeit besprochen wurde
( Newton Verfahren )
oder
ein GTR ist erlaubt.

Answer 3

Viele Taschenrechner können Wurzeln von Polynomfunktionen (= Nullstellen ganzrationaler Gleichungen) direkt algebraisch oder numerisch bestimmen. Mit einem TI-Inspire CX (non CAS) und der darin zur Verfügung stehenden Funktion polyRoots() beispielsweise bekommst du dies:

Comments

Eigentlich ist das hier ganz einfach algebraisch zu lösen!

LG

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Nur 5 Stellen genau -> da rechnet jedes Billig-Handy schon über 13 Stellen genau.

Da gibt es über 100000 Formeln, die bei gleicher Genauigkeit das gleiche Ergebnis liefern, aber nicht Lösung der Aufgabe sind:

sqrt((9*e+log(4)-2)/10)=1.54437141961...

73597/47655 = 1.544370999895...

94483/61179 = 1.5443698...

34109/22086 = 1.544372...

Oder kann man die Nachkommastellenanzahl einstellen?

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Nur 5 Stellen genau -> da rechnet jedes Billig-Handy schon über 13 Stellen genau.

Die Anzahl der angezeigten Stellen ist auf 6 eingestellt, kann aber auf bis zu 12 Stellen heraufgesetzt werden. Intern wird wohl mit einer Mantissenlänge von 14 Stellen gearbeitet. Der Rechner arbeitet numerisch. Es gibt auch eine CAS-Variante.

GTRs sind an den hiesigen Schulen für die Oberstufe mit Vollabitur vorgeschrieben. Ein Fan davon bin ich allerdings nicht.

Answer 4

Diese Aufgabe spiegelt schön die Geschichte der Mathematik wieder.

Wenn Dir -1.54 reichen, dann bist Du etwa 500 bis 600 Jahre zurück oder in einer unteren Klasse, die einfach nur

a) 1 Bild malt und den Wert grob abließt. (oder

b) mit Probieren {Bisektion} nach 3 Schritten endest)

pq-Formel ist für Polynome vom Grad 2 und wir haben aber hier Grad 3.

c)

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

war schon vor dem Jahr 1700 bekannt und ist mit 4 Schritten etwa 10 Stellen genau.

d)

https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/v/v082.htm

ist schon über 200 Jahre bekannt für diese Art der Spezialfälle.

(siehe Kommentar von nn oben)

e) https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

kennt man auch schon im 17. Jh., hat aber noch Fallunterscheidungen.

f) Diese Fallunterscheidungen wurden mit den komplexen Zahlen eliminiert und seit über 90 Jahren

kennt man die exakten expliziten Formeln für Polynome vom Grad 3: PQRST-Formel

http://www.lamprechts.de/gerd/Quartische_Gleichung.html

Ein online Rechner für e) und f) findet man unter

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

ergibt die 3 Lösungen im Bild

x1 ausgeschrieben: (sqrt(146) - 12)^{1/3}/2^{2/3} - 1/(2 (sqrt(146) - 12))^{1/3} = -1.54437011702378455509586978737...

mit sqrt(x)=Wurzel(x) und x^{1/3}= 3. Wurzel von x

Comments

Cardano ist und bleibt der Gewinner! Zumindestens mein Gewinner!