Nach Ableitung der Funktion f(x) = ln(2x) / x^3 den Bruchterm kürzen

Question

ich habe die Funktion: f(x) = ln(2x) / x^3

Diese soll ich nun ableiten und in möglichst einfacher Form darstellen.

f'(x) = (1/2x * 2 * x^3 - ((ln(2x)) * 3x^2)) / ((x^3)^2)

 = ((2*x^3/2x) - ln(2x) * 3x^2 / x^9

= (2x^3 - ln(2x) * 3x^2) / (x^9 * 2x)

Die x^9 und 2x könnte man ja schön noch kürzen, aber in Summen kürzen nur die "Dummen"? Habe den Bruch auseinander gezogen und so gekürzt.

Erhalte dann 1/x^7 - ((ln(2x) * 3) / (x^6 * 2x))

Die Lösung sagt mir ich erhalte:

f'(x) = 1 - 3 * ln(2x) / x^4

Wie haben die es geschafft zu Kürzen? Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte. :)

Answer 1

verwende die Quotientenregel.

$$ f(x)=\frac{\ln(2x)}{x^3} $$

$$ f'(x)=\frac{\frac{1}{2x}\cdot 2\cdot x^3-\ln(2x)\cdot 3x^2}{x^6} \\=\frac{x^2(1-3\cdot \ln(2x))}{x^6}=\frac{1-3\cdot \ln(2x)}{x^4}$$

Den Summanden $$ \frac{1}{2x}\cdot 2\cdot x^3 $$ kannst du vereinfachen

$$ \frac{1}{2x}\cdot 2\cdot x^3 = \frac{1}{x}\cdot x^3 = x^2 $$

Comments

Dankeschön für die Antwort! :)

Answer 2

f ( x ) = ln(2x) / x^3
Oder umformen und die Produktregel anwenden.

f ( x ) = ln(2x) * x^{-3}
f ´( x ) = 2 / (2x ) * x^{-3} + ln(2x) * (-3)* x^{-4}
f ´( x ) = x^{-4} + (-3) *ln(2x) * x^{-4}
f ´( x ) = ( 1 -3 * ln(2x)) / * x^{4}