Koordinaten einer kritischen Stelle bestimmen f(x,y)=−200⋅x+5⋅x⋅y−200⋅y

Question

Gegeben sei die folgende Funktion

f(x,y)=−200⋅x+5⋅x⋅y−200⋅y.

Berechnen Sie die kritische Stelle der Funktion f(x,y) unter der Nebenbedingung x+y=160.

Die Koordinaten der kritischen Stelle lauten;

x-Koordinate: ___

y-Koordinate: ___

Danke.

Answer 1

Hallo Maxi,

mit den partiellen Ableitungen (=0 setzen)  von

L(x,y,λ) = - 200·x + 5·x·y - 200·y + λ·(x + y - 160)

5·y + λ - 200 = 0 und 5·x + λ - 200  und   x + y - 160 = 0  und 

komme ich auf   x = 80 ∧ y = 80 ∧ λ = -200

→  kritische Stelle (80,80) 

Nachtrag:

Es geht auch viel einfacher: 

da der Funktionsterm f(x,y) = - 200·x + 5·x·y - 200·y  bzgl. x und y symmetrisch ist, ergibt sich (80,80) wegen der Vorgabe "die (einzige!) kritische Stelle" auch direkt aus x + y = 160 

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Maxi,

du solltes ggf. meinen Nachtrag in meiner Antwort noch lesen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Nebenbedingung

x + y = 160 --> y = 160 - x

Hauptbedingung

f(x, y) = - 200·x + 5·x·y - 200·y

f(x) = - 200·x + 5·x·(160 - x) - 200·(160 - x)

f(x) = - 5·x^2 + 800·x - 32000

f'(x) = 800 - 10·x = 0 --> x = 80

y = 160 - x = 160 - 80 = 80

Damit ist der Punkt (80 | 80) eine kritische Stelle.

Answer 3

Vermutlich ist der Punkt (40|40) gemeint. Dort kreuzen sich "Höhenlinien".

https://www.wolframalpha.com/input/?i=−200⋅x%2B5⋅x⋅y−200⋅y,+x%2By+%3D+160

Comments

(40, 40) erfüllt nicht die Nebenbedingung x + y = 160.

So sieht das besser aus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+−200x%2B5xy−200y+with+x%2By%3D160

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Perfekt. Danke.

Ich hatte bereits gerechnet und bin auf x=80 gekommen. Wegen meiner Wolframalpha-Eingabe nahm ich an, dass ich etwas verkehrt hatte und habe abgebrochen :)